С. В. Хасанов, Т. Т. Кузбеков, С. Е. Сысоев
ИНТЕГРАЛ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПРАКТИКУМ
Уфа 2015
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Уфимский государственный авиационный технический университет»
С. В. Хасанов, Т. Т. Кузбеков, С. Е. Сысоев
ИНТЕГРАЛ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПРАКТИКУМ
Допущено Редакционно-издательским советом УГАТУ
в качестве практикума для студентов технических направлений
заочной формы обучения
Уфа 2015
УДК 517(07)
ББК 22.16я7
Х24
Рецензенты:
в.н.с. Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН, д-р физ.-мат. наук Мукминов Ф. Х.;
зав. кафедрой математики и статистики БГПУ им. М. Акмуллы, д-р
физ.-мат. наук, проф. Гадыльшин Р. Р.
Хасанов, С. В.
Х24 Интеграл. Дифференциальные уравнения: практикум / С. В. Хасанов, Т. Т. Кузбеков, С. Е. Сысоев; Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. – Уфа : Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т, 2015. – 109 с.
ISBN
Практикум охватывает разделы “Интегральное исчисление и обыкновенные дифференциальные уравнения” дисциплины “Математика”, изучаемые на технических направлениях заочной формы обучения. Содержит необходимые теоретические сведения о методах вычисления интегралов и решения дифференциальных уравнений первого и высших порядков, примеры решения типовых задач и 30 вариантов заданий для выполнения расчетно-графической работы.
Практикум предназначен для студентов заочной формы обучения, выполняющих расчетно-графическую работу по дисциплине “Математика”.
Научный редактор: д-р физ.-мат. наук, профессор Булгакова Г. Т.
УДК 517(07)
ББК 22.16я7
ISBN © Уфимский государственный
авиационный технический университет, 2015
Оглавление
Введение ……………………………….................................................... 5
1. Неопределенный интеграл ……………………….............................. 6
1.1. Первообразная и ее основные свойства ……………………..…… 6
1.2. Неопределенный интеграл и его основные свойства ……............. 7
1.3. Задачи для самостоятельного решения …………………............... 9
1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле ………............. 9
1.5. Задачи для самостоятельного решения ….…......………….......... 10
1.6. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле ........... 10
1.7. Задачи для самостоятельного решения ......................................... 12
1.8. Интегрирование рациональных дробей ........................................ 12
1.9. Задачи для самостоятельного решения ….…............................… 18
1.10. Интегрирование тригонометрических функций ........................ 18
1.11. Задачи для самостоятельного решения ………........................... 21
1.12. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей ........... 21
1.13. Задачи для самостоятельного решения …….…......…………… 22
1.14. Интегрирование квадратичных иррациональностей ................. 22
1.15. Задачи для самостоятельного решения …….…......…………… 24
2. Определенный интеграл ….....….....……………………….............. 25
2.1. Определенный интеграл и его свойства...............……………......25
2.2. Вычисление интеграла с помощью
формулы Ньютона-Лейбница ……………………………………. 26
2.3. Задачи для самостоятельного решения ......................................... 27
2.4. Замена переменной в определенном интеграле ........................... 28
2.5. Задачи для самостоятельного решения ……….………….…....... 29
2.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле ............... 30
2.7. Задачи для самостоятельного решения ….………….………....... 31
3. Несобственные интегралы ................................................................. 32
3.1. Интегралы с бесконечными пределами
(интегралы 1-го рода) ...................................................................... 32
3.2. Задачи для самостоятельного решения ……….……………........ 33
3.3. Интегралы от неограниченных функций
(интегралы 2-го рода) ...................................................................... 33
3.4. Задачи для самостоятельного решения ………………................. 35
4. Геометрические приложения определенного интеграла …............ 36
4.1. Площадь плоской фигуры .............................................................. 36
4.2. Задачи для самостоятельного решения ……....……..................... 38
4.3. Длина дуги плоской кривой ……................................................... 39
4.4. Задачи для самостоятельного решения ………............................. 41
4.5. Объем тела вращения ...................................................................... 41
4.6. Задачи для самостоятельного решения …………………….…… 42
5. Двойной интеграл ............................................................................... 43
5.1. Двойной интеграл и его приложения ............................................ 43
5.2. Задачи для самостоятельного решения ………………..………... 48
5.3. Замена переменных в двойном интеграле .................................... 49
5.4. Задачи для самостоятельного решения ......................................... 52
6. Криволинейный интеграл первого рода ........................................... 53
6.1. Криволинейный интеграл первого рода и его приложения ........ 53
6.2. Задачи для самостоятельного решения ….......….......................... 56
7. Дифференциальные уравнения первого порядка ............................ 57
7.1. Основные понятия об уравнениях первого порядка .................... 57
7.2. Уравнения с разделяющимися переменными ............................... 58
7.3. Задачи для самостоятельного решения ………............................. 59
7.4. Однородные уравнения первого порядка ..................................... 59
7.5. Задачи для самостоятельного решения ………………………..... 60
7.6. Линейные уравнения первого порядка .......................................... 60
7.7. Задачи для самостоятельного решения ………………………..... 62
7.8. Уравнения в полных дифференциалах .......................................... 62
7.9. Задачи для самостоятельного решения ……………………......... 64
8. Дифференциальные уравнения высших порядков .......................... 65
8.1. Основные понятия об уравнениях высших порядков .................. 65
8.2. Уравнения, допускающие понижение порядка ............................ 66
8.3. Задачи для самостоятельного решения ………......…................... 70
8.4. Линейные однородные уравнения с постоянными
коэффициентами ………………………………………………….. 70
8.5. Задачи для самостоятельного решения ….....…............................ 72
8.6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными
коэффициентами и специальной правой частью …...................... 72
8.7. Задачи для самостоятельного решения .….................................... 77
9. Домашнее задание .............................................................................. 78
9.1. Основные правила и требования ................................................... 78
9.2. Варианты задания ............................................................................ 78
Список литературы .............................................................................. 109