Портфель с минимальным риском. Хеджирование.

Для того чтобы минимизировать риск (колебание доходов) портфеля необходимо:

• распределить средства между различными видами инвестиций;

• избегать инвестиций в ценные бумаги с большой степенью корреляции.

Процесс, направленный на снижение риска по основному инструменту, путем открытия противоположной позиции по тому же инструменту называется хеджированием. Страхование ценовых рисков это и есть хеджирование.

Полученные выше результаты позволяют сделать очень важный вывод: чем больше степень статистической взаимосвязи между доходностью двух активов, тем больше возможностей по снижению риска путём комбинации двух инвестиций в эти активы, другими словами – тем более эффективна диверсификация, предпринимаемая с целью снижения риска. Данный факт лежит в основе стратегии хеджирования.

Хеджирование представляет собой снижение риска, при котором инвестор, для того, чтобы обезопасить себя от возможных потерь, связанных с инвестированием в некоторый актив, одновременно инвестирует в другой актив, доходность которого негативно коррелирована с доходностью первого. В качестве примера рассмотрим ту же задачу выбора портфеля, но в несколько изменённом виде.

Пусть инвестор владеет одной единицей некоторого актива, который принесёт ему единиц чистого дохода на протяжении планового горизонта. Обозначим через х объём инвестиций в этот актив: х = 1. Доходность является случайной величиной. Предположим, что она может быть как положительной, так и отрицательной. Пусть инвестор желает обезопасить себя от риска потери стоимости своего актива – тех случаев, когда окажется отрицательной. Для этого он инвестирует средства в другой актив, доходность которого (греческая буква «ню») также случайна, но связана отрицательной статистической взаимосвязью с доходностью первого актива. Обозначим через h объём инвестиций во второй актив. Суммарная ожидаемая доходность инвестиций (портфеля) будет составлять:

(6.27).

Риск портфеля будет равен

(6.28).

Риск будет минимальным, если, исходя из условия первого порядка минимума функции, выполняется равенство

или (6.29).

Величина h, рассчитанная по формуле (6.29), называется коэффициентом хеджирования с минимальным риском. Заметим, что если и стандартные отклонения выбранных бумаг приблизительно равны, то h = 1 и хеджирование будет обеспечивать минимальный риск, если в портфеле будет находиться равное количество ценных бумаг. Хеджирование в пропорции «один к одному» называется ещё «наивным хеджем», так как коэффициент хеджирования с минимальным риском равен единице лишь в случае абсолютной отрицательной взаимосвязи между доходностью двух активов.

Покупатель, например, фьючерсного или форвардного контракта, страхуется от возможного будущего повышения спот-цены базисного актива, продавец – от понижения спот-цены базисного актива. Короткий хедж на рынке фьючерсных контрактов страхует от будущего падения спот-цены базового актива.

6.3. Постановка задачи об оптимальном портфеле.

6.3.1. Модель Марковица.

Модель поведения инвестора, согласно которой инвестиции оцениваются исключительно по двум параметрам – ожидаемой доходности и риску, позволяет сформулировать единое правило формирования портфеля, которому следуют все без исключения инвесторы. Независимо от индивидуальных предпочтений, инвесторы стремятся сформировать эффективный портфель – такой, который обеспечивает минимальную степень риска для выбранного уровня дохода либо, что то же самое, максимальный ожидаемый доход при заданной степени риска. Этот подход и сама задача выбора эффективного портфеля носит название модели Марковица.

Суть диверсификации по Марковицу: для снижения риска портфеля необходимо распределить средства между инвестициями, имеющими минимальную корреляцию. Соотношение риска и доходности – основа для принятия инвестором решения по формированию портфеля ценных бумаг.

Пусть, как и прежде, существует n активов, каждый из которых обеспечивает случайную величину доходности (i=1, …, n), - ожидаемая (средняя) доходность i-го актива (математическое ожидание случайной величины ):

= Е( ) (6.30).

- стандартное отклонение доходности i-го актива:

(6.31).

- ковариация между доходностью i-го и j-го активов:

(6.32)

( - коэффециент корреляции случайных величин и ).

Модель Марковица можно сформулировать следующим образом: необходимо найти такие пропорции распределения средств между доступными активами: (где - доля средств, инвестируемых в i-ый актив), чтобы риск портфеля при заданном уровне доходности был минимальным. Математически модель можно сформулировать так: найти

(6.33),

при ограничениях

(6.34).

(6.35),

(6.36).

В приведённой формулировке модели, - заданный уровень средней доходности, а ковариация равна

(6.37).

В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели (без коротких позиций). Это значит, что на вектор Х накладываются два ограничения (6.35-6.36). Портфель называют стандартным, если инвестор по каждому ак­тиву находится в длинной (long) позиции (3.36). Длинная позиция - это обычно покупка актива с намерением его последующей продажи (закрытие позиций). Такая покупка обычно осуществляется при ожи­дании повышения цены актива в надежде получить доход от разно­сти цен покупки и продажи. Допустим, что относительно некоторо­го актива инвестор уверен, что грядет понижение его стоимости. В этом случае он может совершить сделку, которая называется короткой продажей (short sale). Для этого он берет данный актив взай­мы у другого инвестора (кредитора), сразу же продает его, а впо­следствии покупает на рынке по сниженной цене и возвращает его своему кредитору. При этом он обязан выплатить кредитору теку­щий доход по активу за время сделки и некоторый процент за пре­доставление самой возможности сделки (за кредит). На большинстве фондовых бирж короткие продажи вполне допустимы и часто используются, но ввиду их особой рискованности биржи могут вводить ограничения на общую величину коротких позиций в сделках.

Особенностью модели Марковица является то, что доходность любого стандартного портфеля не превышает наибольшей доходности активов, из которых он построен.

6.3.2. Модель Блека.

В модели Блека допустимыми являются любые портфели. Это значит, что вектор Х удовлетворяет лишь основному ограничению:

Наличие коротких позиций (отсутствие условия неотрицательности) позволяет реализовать любую, сколь угодно большую до­ходность, естественно, за счет большого риска.

6.3.3. Модель Тобина-Шарпа-Литнера.

В модели Тобина - Шарпа - Литнера предполагается наличие так называемых безрисковых активов, доходность которых не зависит от состояния рынка и имеет постоянное значение.

Пример. Сформировать портфель минимального риска из двух видов ценных бумаг – «А» с эффективностью 12% и рис­ком 21.1 и «В» с эффективностью 5.1% и риском 8.3 при усло­вии, что обеспечивается доходность портфеля не менее 8.9%. Ко­эффициент корреляции равен 0.18.

Решение. Модель Марковица может быть сформулирована следующим образом. Необходимо найти вектор Х = (х , х₂), минимизирующий риск портфеля _р. Здесь х - доля в портфеле ценных бумаг А; х₂ - доля в портфеле ценных бумаг В; при ограничениях:

; ; ; .

Довольно легко можно получить решение задачи в среде Excel с помощью надстройки «Поиск решения». Таким образом, минимальный риск портфеля, равный 12.88%, будет достигнут, если доля акций А составит 0.55, а доля акций В – 0.45.

Пример. Верхняя граница риска задана равной 16%. Найти оптимальный портфель максимальной доходности для трех ценных бумаг R, S и L с доход­ностью и риском:

	R	S	L
Доходность (в%)	12	10,5	11
Риск (в %)	25	10	20

Матрица коэффициентов корреляции

	R	S	L
R	1	0,52	0,27
S	0,52	1	0,75
L	0,27	0,75	1

Решение. Модель может быть сформулирована следующим образом. Необходимо найти вектор , максимизирующий доходность портфеля при следующих ограничениях:

,

где , , - доли в портфеле ценных бумаг соответственно активов R, S, L.

Матрица ковариаций получена с использованием формулы 5 из таблицы 6.6.

Для решения задачи следует воспользоваться надстройкой Excel, называемой «Поиск решения». В результате получим мак­симально возможную доходность портфеля 11.29 при значениях вектора X=(0.47, 0.36, 0.17).