3.10. Использование регрессии для прогнозирования.

Регрессионные модели могут быть использованы для прогнозирования. Например, предположим, что мы хотим предсказать уровень индекса FТSЕ 100 при росте индекса S&Р 500 до 550 за данный день. Если коэффициенты и составленного уравнения регрессии соответственно равны 196.32 и 5.964, то прогнозное значение индекса FТSЕ 100 составит

Y = 196.32 + (5.964 • 550) = 3477.

Когда мы используем регрессионную модель для прогноза величины Y (в данном случае это уровень индекса РТ8Е 100), располагая величиной X (уровень индекса S&Р 500), мы хотим знать степень доверия к оцениваемому значению. Для этой цели рассчитываются стандартная ошибка оценки, а затем интервал прогнозирования.

Стандартная ошибка оценки, также известная как стандарт­ная ошибка уравнения регрессии, определяется следующим об­разом:

Фактически это среднее квадратическое отклонение всех . Интервал прогнозирования рассчитывается так:

(3.10),

где - это значение Х, используемое для прогноза, т.е. 550 для приведенного выше примера.

3.10. Моделирование взаимосвязей финансово-экономических показателей.

В сфере экономики и финансов, как это уже неоднократно подчеркивалось выше, действуют разнообразные связи, которые могут осуществляться, например, в виде материальных и финан­совых потоков между элементами системы, потоков информации между органами и объектами управления. Весьма привлекателен для практика особый тип связей - причинно-следственные.

Причинная связь между парой показателей проявляется в фор­ме изменения значений результативного показателя у (зависимой переменной) под влиянием изменения значений показателя-фак­тора х (независимой переменной). В экономике причинно-след­ственные связи обычно носят стохастический характер, т.е. зависимость между показателями проявляется на фоне случайности, содёржит некоторый элемент неопределенности. Это объясняет­ся тем, что обычно на результативный показатель у оказывает вли­яние большое число факторов, действующих в разных направле­ниях с различной силой. Переплетением этих взаимовлияний и обусловлена неопределенность в проявлении причинно-следствен­ных связей.

В терминах математической статистики стохастическая зависи­мость переменной у от переменной х определяется как изменение закона распределения случайной величины у при изменении зна­чений случайной величины х.

При такой постановке вопроса для статистического изучения стохастической зависимости необходимо располагать достаточно большими совокупностями наблюдений переменной у для каждого значения переменной х. Обычно в практических исследованиях не удается собрать такую информацию в полном объеме. Поэтому ставится задача изучения и моделирования частного случая сто­хастической связи - связи статистической.

Статистическая связь определяется как изменение математичес­кого ожидания М(у) случайной величины у при изменении значений случайной величины х. При такой постановке задачи изучения причинно-следственных связей не учитываются возможные изме­нения формы закона распределения у при изменении значений случайной величины х. Вместо этого априорно принимается пред­положение о нормальном законе распределения у при каждом зна­чении х. Это положение является одной из важнейших предпосы­лок использования статистических методов моделирования взаимо­связей, в частности корреляционно-регрессионных методов.

В корреляционно-регрессионном анализе в соответствии с по­ложениями математической статистики считается, что в качестве оценки математического ожидания при нормальном законе рас­пределения может быть принято эмпирическое среднее значение случайной величины, поскольку для нормального закона распре­деления оно является и наиболее вероятным. Исходя из этого кор­реляционная связь определяется как изменение условного средне­го значения у(х) случайной величины у при изменении значений случайной величины х. При этом для установления факта нали­чия такой связи между парой показателей и построения ее моде­ли достаточно в качестве исходной информации располагать дан­ными о значениях переменных х и у по соответствующим едини­цам статистической совокупности (пространственные ряды наблюдений) или в последовательные моменты времени (времен­ные ряды наблюдений). Достаточно надежные результаты моде­лирования удается получить, если число наблюдений, составив­ших его информационную базу, не менее 20.

Если каждому значению х соответствует точно определенное значение у, то связь между показателями не является стохастической, а носит детерминированный характер. Такая связь называ­ется функциональной и является предельным случаем корреляци­онной. Изучение функциональных связей не требует использова­ния статистических методов и в данной главе не рассматривается.

Описание именно корреляционной связи лежит в основе ста­тистического моделирования причинно-следственных зависимо­стей и поэтому при интерпретации результатов моделирования следует учитывать все предпосылки и допущения, принятые в корреляционно-регрессионном анализе.

Статистическое моделирование причинно-следственных связей с использованием методов корреляционно-регрессионного анали­за предполагает выполнение следующих этапов:

1. выявление наличия корреляционной связи между показа­телями;

2. подбор аналитической зависимости для описания взаимосвязи и оценка параметров модели регрессии;

3. определение направления и измерение тесноты взаимосвязи между показателями;

4. проверка адекватности полученной модели, оценка величины возможной ошибки;

5. интерпретация результатов моделирования, определение возможностей использования модели для анализа и прогнозиро­вания показателя у в зависимости от значений х.

В данном разделе рассмотрим лишь подробнее первый пункт этих этапов.

3.10.1. Выявление наличия корреляционной связи между парой показателей и оценка ее тесноты.

Первоначально предположение о наличии причинной связи между показателями обычно базируется на результатах логическо­го анализа финансово-экономических явлений и процессов. Обос­нованность этого предположения можно проверить, используя специальные статистические методы и приемы. Наиболее простым из них является метод сравнения параллельных рядов. Суть метода заключается в сравнении соответствующих значений показателей: если возрастанию (убыванию) значении одного показателя соответ­ствует возрастание (убывание) другого, то между ними возможна прямая взаимосвязь. Так, в табл. 3.1 приведены значения показа­телей, между которыми можно предположить причинную зависи­мость. На эту гипотезу наводит сопоставление динамики этих показателей: чем больше значения х, тем больше у.

Таблица 3.1.

Исходные данные для анализа взаимосвязи между парой показателей.

Предприятие	Уставный капитал, млн руб. (X)	Число акций, выставленных к продаже (У)
1	2954	856
2	2605	720
3	4102	1540
4	2350	760
5	2625	790
6	1795	645
7	2813	824
8	1751	575
9	1700	470
10	2264	697

Представим данные табл. 3.1 графически, для чего будем от­кладывать значения переменных х и у в соответствии с номерами предприятий (рис. 3.1). На графике хорошо видно, как измене­ниям одного показателя соответствуют изменения другого.

Рис. 3.1. Сравнение параллельных динамических рядов.

Еще более наглядное представление о корреляционной зависи­мости, к тому же непосредственно связанное с понятием о ее мо­дели, дает другой график. На нем в прямоугольной системе коор­динат точками представлены данные наблюдений. Координаты точек графика соответствуют значениям показателей: абсцисса - независимой переменной х, ордината - зависимой переменной у. Такой график называется корреляционным полем. На рис. 3.2 кор­реляционное поле отображает зависимость между показателями, приведенными в табл. 3.1. В этом случае точки графика достаточ­но близки к некоторой линии.

Линия, прослеживающаяся в расположении точек корреляци­онного поля, является моделью корреляционной зависимости и называется линией регрессии. В обсуждаемом примере в качестве линии регрессии может быть принята прямая. Она отражает из­менение показателя у, соответствующее изменению показателя-фактора х. Однако далеко не всегда на графике корреляционного поля так четко и однозначно прослеживается связь между пере­менными.

Рис. 3.2. Корреляционное поле.

Если точки на графике корреляционного поля расположились таким образом, что прослеживается некоторая линия либо их рас­положение похоже на наклонный эллипс, то между исследуемы­ми показателями существует корреляционная связь, хаотичное расположение точек свидетельствует об отсутствии связи между показателями. В нашем случае точки графика (см. рис. 3.2) дос­таточно близки к некоторой линии.

Могут встретиться случаи, когда показатели варьируются независимо друг от друга в дос­таточно широком диапазоне, и это проявляется в хаотичном рас­положении точек на графике. Компактное расположение точек параллельно оси ординат свидетельствует о том, что сравнитель­но большая вариация переменной у не может быть обусловлена практически постоянными значениями х. Аналогичный вывод об отсутствии зависимости можно сделать и в третьем случае: несмот­ря на существенное изменение показателя-фактора х, показатель у остается практически неизменным. Могут встретиться более сложные зависимости между показателями x и y, чем в примере, представленном на рис. 3.2. Они могут отражать обратную линейную зависимость, когда с ростом одного из показателей другой убывает; прямую нелинейную зависимость, когда изменение показателей не стро­го пропорционально, и наиболее сложный случай с точки зрения разработки модели - неоднородность исходной совокупности, ког­да внутри изучаемого явления действуют различные закономерно­сти, которые, следовательно, некорректно описывать одной моде­лью. В этом случае исходную совокупность наблюдений необходи­мо предварительно сгруппировать, а затем уже для каждой группы строить собственную модель, иначе модель, построенная для всей совокупности в целом, будет отражать не различные реально суще­ствующие закономерности, а нечто среднее между ними.

Графический метод выявления взаимосвязей между парой по­казателей дает наглядное представление о зависимости между ними, но не позволяет дать ее количественную оценку.

Для измерения тесноты статистической взаимосвязи, например между показателями у и х, наиболее часто используется линейный (парный) коэффициент корреляции:

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Его положительные значения свидетельствуют о пря­мой связи между переменными, отрицательные - об обратной. Близость коэффициента корреляции к нулю свидетельствует о сла­бой связи между переменными и о нецелесообразности ее моде­лирования. В практических исследованиях принято считать связь между переменными слабой, если |r_xy|<0,3; сильной, если | r_xy | > 0,7. Значение линейного коэффициента корреляции для пары показателей, рассматриваемых в табл. 3.1, составляет 0,95, т.е. связь между переменными признается сильной.

Пример 3.1. Построить уравнение регрессии для данных, записанных в таблице 3.1. Оценить качество построенной модели.

Решение. Модель зависимости числа выставленных к продаже акций Y от величины уставного капитала предприятия X имеет вид:

Y = -163.18 + 0.38 X (XX).