12.Найти мощность множества всех синусоид, которых можно расположить на плоскости так, чтобы они не пересекались друг с другом.
13.X – множество всех точек «ведра», т. е. цилиндра х2 + у2 = а2, |z| < 1;
Y– множество всех точек его «дна»: x2 + y2 < a2, z = 0.
14.X – множество чисел натурального ряда, Y (2Z) (3Z) , т. е. множе-
ство натуральных чисел, делящихся или на 2, или на 3, или на них обеих.
15.Найти мощность множества всех алгебраических чисел, т. е. множества всевозможных корней многочленов с целыми коэффициентами.
16.X – множество натуральных чисел, Y – множество векторов с рациональными координатами в 3-мерном пространстве.
17.Найти мощность (т. е. число элементов) множества всевозможных телефонов, в 7-значных номерах которых не встречается цифра 9.
18.Найти мощность (т. е. число элементов) множества всевозможных телефонов, в 7-значных номерах которых все цифры различны.
19.Найти мощность (число элементов) множества всех слов, состоящих не более, чем из семи букв, которые можно составить из алфавита, содержащего 33 буквы.
20.Найти мощность (число элементов) множества всех слов (любой длины), которые можно составить из алфавита, содержащего всего две буквы.
4.3. Дополнительные задачи
Элементы такого рода задач будут в тестах, предназначенных для сдачи зачета.
1. Упростить формулы (это значит, привести их к сокращенной ДНФ)
а) (х х) х;
б) х (х у);
в) x y (x y) x ;
г) (х у) (х у);
д) (x y) (y z) (z x);
е) (x y (z y y x)) (x x (x x)) y ; ж) (x x x y y z) x ( y z) ( y z) ;
з) (x ( y z y z)) ( y x y) x ( y x x ) ;
и) (x y) (y z) (x z);
к) xz xz yz xyz .
2. Проверить что наборы следующих функций являются базисами и выразить через них конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание: а) импликация и константа 0; б) импликация и сложение по модулю 2; в) Функция трех переменных задана таблицей истинности (при естественном порядке наборов переменных (10011110).
98
Следуюшие логические задачи требуется решить методами теории булевых функций:
3.Определите кто из четырех студентов сдал экзамен, если известно: а) если первый сдал, то и второй сдал; б) если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал;
в) если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал; г) если четвертый сдал, то и первый сдал.
4.Известно следующее: если Петя не видел Колю на улице, то либо Коля ходил в кино, либо Петя сказал правду; если Коля не ходил в кино, то Петя не видел Колю на улице, и Коля сказал правду; если Коля сказал правду, то либо он ходил в кино, либо Петя солгал. Выясните, ходил ли Коля в кино.
5.В школе, перешедшей на самообслуживание, четырем старшекласс-
никам Андрееву, Костину, Савельеву и Давыдову поручили убрать 7-й, 8-й, 9-й и 10-й классы. При проверке выяснили, что десятый класс убран плохо. Не ушедшие домой ученики сообщили о следующем:
а) Андреев: «Я убирал 9-й класс, а Савельев 7-й»; б) Костин: «Я убирал 9-й класс, а Андреев 8-й»; в) Савельев: « Я убирал 8-й класс, а Костин – 10-й».
Давыдов уже ушел домой. В дальнейшем выяснилось, что каждый ученик в одном из двух высказываний говорил правду, а в другом – ложь. Какой класс убирал каждый ученик?
6.Пять школьников из пяти различных городов Брянской области прибыли для участия в областной олимпиаде по математике. На вопрос: «Откуда вы?» каждый дал ответ:
а) Иванов: «Я приехал из Клинцов, а Дмитриев – из Новозыбкова»; б) Сидоров: «Я приехал из Клинцов, а Петров – из Трубчевска»; в) Петров: «Я приехал из Клинцов, а Дмитриев из Дятькова»;
г) Дмитриев: «Я приехал из Новозыбкова, а Ефимов – из Жуковки»; д) Ефимов: «Я приехал из Жуковки, а Иванов живет в Дятькове».
Откуда приехал каждый из школьников, если одно его утверждение верно, а другое ложно.
7.На вопрос: «Кто из трех студентов изучал логику?», получен верный ответ: «Если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий». Кто изучал логику?
8.Однажды следователю пришлось допрашивать трех свидетелей: Клода, Жака и Дика. Их показания противоречили друг другу, и каждый из них обвинял кого-то во лжи:
а) Клод утверждал, что Жак лжет; б) Жак обвинял во лжи Дика;
в) Дик уговаривал следователя не верить ни Клоду, ни Жаку.
99
Но следователь быстро вывел их на чистую воду, не задав им ни одного вопроса. Кто из свидетелей говорил правду?
9.Нарисовать функциональную схему для функции (x y) (xy z).
10.Нарисовать РКС для ДНФ:
xyz xyz xyz xyz ,
а также сократить ее по правилу Блейка и нарисовать РКС для полученной сокращенной ДНФ.
11.Найти хроматическое число и реберно-хроматическое число для графов из заданий 61 и 70.
12.Выяснить являются ли графы из заданий 61и 70 эйлеровыми, полуэйлеровыми, гамильтоновыми или полугамильтоновыми (объясните свой ответ). Если ответ на какой-нибудь из этих четырех вопросов является положительным, то укажите соответствующий путь.
13.Нарисовать все возможные деревья, содержащие 5 вершин (и значит, 4 ребра).
14.Для графа, изображенного ниже (рис. 4.5), определите, является ли он эйлеровым и, если да, то найдите эйлеров путь в соответствии с алгоритмом Флери.
2 |
3 |
1
5 |
6 |
Рис. 4.5
15.Является ли граф на рис. 4.5 гамильтоновым, а если нет, то сколько вершин надо добавить,чтобы он стал таковым.
16.Граф на рис. 4.6, очевидно, не является плоским. Является ли он планарным? Если да, то нарисуйте этот граф плоским.
1
2 |
3 |
4 |
5 |
6
Рис. 4.6
100
4.4.Вопросы для самопроверки
1.Булевы функции. Таблицы истинности.
2.Конъюнкция, дизъюнкция и отрицание. Свойства. Правила поглощения, де Моргана и Блейка.
3.ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ. Представление булевой функции (по таблице истинности) в виде СДНФ и СКНФ.
4.Сокращенная ДНФ. Нахождение сокращенной формулы с помощью правила Блейка и с помощью карт Карно.
5.Полиномы Жегалкина и их нахождение.
6.Суперпозиция функций. Полные наборы функций и базисы. Теорема Поста и таблица Поста.
7.Графы. Общие понятия. Ориентированные графы. Пути и сечения
вграфе.
8.Структурная матрица. Нахождение путей и сечений методами булевой алгебры.
9.Сети и потоки в сетях. Теорема Форда – Фалкерсона.
101