Глава IV. Проверка статистических гипотез
«В науке есть нечто такое, от чего захватывает дух. Обладая пустяковыми запасами фактов, с помощью науки можно выдвинуть невероятное число догадок и предположений.»
Марк Твен.
Жизнь на Миссисипи.
С теорией оценивания параметров тесно связана другая теория – теория проверки статистических гипотез.
§8. Основные понятия теории проверки статистических гипотез
Теория проверки статистических гипотез используется тогда, когда на основе информации, полученной в результате исследования выборки, требуется подтвердить или опровергнуть некоторые выводы (утверждения) о всей генеральной совокупности. При этом необходимо учитывать, что любое суждение о генеральной совокупности по выборке не должно быть категоричным, так как выборка – это не вся генеральная совокупность. Более того, это суждение обязательно будет сопровождаться случайной погрешностью. Таким образом, на основе выборочного материала, можно сделать лишь предположения или гипотезы о свойствах или параметрах всей генеральной совокупности. Эти предположения или гипотезы получили название статистических, так как при их проверке используются полученные в виде выборки статистические данные. Этой проверке и посвящена данная глава.
8.1. Определение и виды статистических гипотез
Пусть имеется некоторый количественный признак Х генеральной совокупности. Рассмотрим две возможные ситуации.
Предположим вначале, что закон распределения этого признака неизвестен. Однако по результатам некоторого дополнительного исследования появились основания предположить, что этот признак распределен по какому-то конкретному закону, к примеру, закону А. Тогда выдвигается гипотеза о виде предполагаемого закона распределения, которая может быть записана следующим образом:
Н0: Признак Х генеральной совокупности распределен по закону А,
где сама гипотеза, которую необходимо проверить обозначается Н0, а содержание гипотезы записывается после двоеточия.
Возможна также другая ситуация, когда закон распределения признака Х известен, но неизвестны параметры этого распределения. В этом случае может быть выдвинуто предположение (гипотеза) о значении какого-либо параметра распределения рассматриваемого признака. Например, гипотеза
Н0: Dг = D0
говорит о том, что генеральная дисперсия признака Х предполагается равной числу D0.
Статистической гипотезой называют предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известных законов распределения некоторого признака генеральной совокупности.
Статистическая гипотеза о виде закона распределения называется непараметрической, а о параметрах распределения – параметрической.
Задача теории проверки статистических гипотез состоит в том, чтобы на основе выборочных данных проверить выдвинутую гипотезу, т.е. установить согласуется ли она с выборочными данными или противоречит им.
Статистическая гипотеза, подлежащая проверке, называется основной или нулевой и обозначается, как уже было отмечено, Н0. Например,
Н0: Признак Х генеральной совокупности распределен по нормальному закону
или
Н0:
.
Очевидно, что первая их этих гипотез будет непараметрической, а вторая – параметрической.
Гипотезы могут быть простыми и сложными.
Простая – это та гипотеза, которая характеризует распределение или параметр однозначно. Например,
Н0: Признак Х генеральной совокупности распределен по нормальному закон с М(Х)=5 и D(Х)=1.
Н0:
.
В сложных гипотезах указывается некоторая область вероятных значений, например,
Н0: Признак Х генеральной совокупности распределен по нормальному закон с М(Х) ≥ 6.
Н0:
.
Очевидно, что сложная гипотеза заключает в себе множество простых.
Для проверки некоторых гипотез наряду с основной гипотезой рассматривают гипотезу, которая является по смыслу ей противоположной.
Альтернативной или конкурирующей гипотезой называют гипотезу Н1, которая противоречит основной.
Для каждой задачи две гипотезы, основная и альтернативная, представляют собой две взаимоисключающие возможности выбора, которые могут быть осуществлены в рассматриваемой задачи.
Как правило, для простых параметрических основных гипотез можно указать бесконечное множество альтернативных. Так, если основная гипотеза имеет вид
Н0: ,
альтернативной для нее может быть, например, одна из следующих гипотез:
Н1:
;
Н1:
;
Н1:
;
Н1:
и т.д.
Выбор альтернативной гипотезы зависит от конкретной постановки задачи, при этом практически всегда выбирают одну из первых трех вышеописанных гипотез.
При проверке непараметрических гипотез вообще не задают альтернативную гипотезу. Вернее, не записывают ее в явном виде. Просто под альтернативной гипотезой подразумевают предположение о том, что не выполнена основная гипотеза.
Как было отмечено, проверку статистической гипотезы проводят с помощью выборочных данных по определенным правилам.
Если выборочные данные, представленные по этим правилам, противоречат основной гипотезе Н0, то она отклоняется. В противном случае, когда выборочные данные не противоречат гипотезе, то оснований отвергнуть гипотезу нет. Однако полностью принять гипотезу тоже нельзя, так как она была проверена на основании данных не всей генеральной совокупности, а лишь ее части – выборки. Поэтому ответом в данном случае будет не «гипотеза принимается», а «гипотеза не отвергается».
Проверка гипотезы на основе только выборочных данных неизбежно связана с риском (вероятностью) принять ложное решение. В связи с этим существуют определенного рода ошибки.