§7. Интервальное оценивание параметров.

Как было отмечено ранее, точечная оценка параметра определяется некоторым числом. Интервальная оценка, как и любой интервал, определяется двумя числами – концами интервала.

7.1. Понятие интервальных оценок

Предположим, что по результатам выборки получена оценка неизвестного параметра θ. Очевидно, что эта оценка тем точнее будет определять значение параметра, чем меньше величина . Если указать некоторое положительное число δ, для которого выполнено неравенство

, (7.1)

то это число будет характеризовать точность оценки . Чем меньше значение δ, тем точнее оценка . Однако нельзя категорически утверждать, что для какой-нибудь оценки будет выполнено неравенство (7.1). Так как оценка – величина случайная, то можно говорить только о вероятности, с которой это неравенство будет выполнено.

Доверительной вероятностью, уровнем доверия или надежностью γ оценки параметра θ называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство (7.1), т.е.

. (7.2)

В практических задачах доверительную вероятность задают в самом начале решения и, естественно, в качестве ее значения берут число, близкое к единице, например, 0,95; 0,99; 0,999 и т.п.

Достаточно часто используется другой вид формулы для доверительной вероятности, а именно

(7.3)

Формула (7.3) получается из формулы (7.2) в результате простых преобразований неравенства в скобках (раскрытием модуля и прибавлением ко всем частям неравенства величины ). Если в последней формуле обозначить через и , то формула (7.3) примет вид:

(7.4)

Интервальной оценкой или доверительным интервалом параметра θ называют числовой интервал , который с заданной вероятностью γ накрывает неизвестное значение параметра θ.

Границы доверительного интервала называются доверительными границами.

Необходимо отметить, что слова «накрывает неизвестное значение параметра» в определении интервальной оценки не совсем верно заменять словами «неизвестное значение параметра попадет в заданный интервал». Это связано с тем, что границы доверительного интервала являются случайными величинами (принимают свое значение в зависимости от выборки и доверительной вероятности), а сам неизвестный параметр – величина постоянная.

И, наконец, очень часто границы доверительного интервала расположены симметрично относительно точечной оценки параметра, как при вышеописанном построении. Однако не всегда и не для всех задач можно построить доверительный интервал с таким свойством.

Построение интервальных оценок связано с формулами вероятности попадания значений случайной величины (значения признака Х) на заданный интервал. Формулы, в свою очередь, связаны с конкретным законом распределения соответствующей случайной величины, например с функцией распределения. Построим интервальную оценку для генеральной средней наиболее часто встречающегося закона – нормального закона распределения.