96

Глава III. Теория оценивания

"Мы живем в век статистики. Едва ли не в каждом своем аспекте явления природы, а также человеческая и прочая деятельность поддается сейчас измерению при помощи статистических показателей"

У.Дж.Рейхман.

Применение статистики.

§6. Точечные оценки параметров и их свойства

Пусть имеется некоторая генеральная совокупность с изучаемым признаком Х, распределение которого известно, но неизвестны параметры этого распределения, например, неизвестными могут быть математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, если рассматриваемый признак распределен по нормальному закону или неизвестен параметр λ, если признак имеет распределение Пуассона.

Предположим, что для нахождения неизвестных параметров исследовать все элементы генеральной совокупности не представляется возможным. Тогда в результате наблюдения над признаком Х получают выборку объема n, с помощью которой затем находят приближенные значения или оценку неизвестных параметров признака Х.

Функцию, которая дает приближенное значение неизвестного параметра, называют статистической точечной оценкой этого параметра.

Определим более точно понятие точечной оценки.

6.1. Понятие точечных оценок

Пусть распределение признака Х генеральной совокупности имеет параметр θ, значение которого неизвестно. Однако существует некоторая формула по которой можно определить приближенно этот параметр, используя значения выборки: х₁, х₂, …, х_n. Эти значения можно рассматривать, как частные конкретные значения n независимых случайных величин: X₁, X₂, …, X_n. Каждая из этих величин имеет тот же закон распределения, что и признак Х.

Точечной статистической оценкой параметра θ называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной Х, с помощью которой можно найти приближенное значение параметра θ.

Оценка определяется как «точечная», потому что она представляет собой число или точку на числовой оси, и как «статистическая», потому что рассчитывается по результатам наблюдений. Все оценки, которые рассматриваются в данном пособии, будут построены по результатам наблюдений, поэтому в дальнейшем слово «статистическая» будем опускать.

Итак, оценка – это некоторая функция случайных величин, т.е.

,

следовательно, в отличие от оцениваемого параметра θ, его оценка является также случайной величиной, зависящей от закона распределения признака Х и от объема выборки n. Поясним данный факт более подробно на примере математического ожидания.

Пусть неизвестным параметром θ является математическое ожидание признака Х. Предположим, что в качестве оценки этого параметра предложена средняя арифметическая. Для нахождения приближенного значения параметра произведем выборку объема n и найдем для нее среднюю арифметическую . Повторим опыт, получим другую выборку того же объема n и найдем для новой выборки значение средней арифметической . Повторяя опыт многократно, будем получать для каждой выборки значение средней арифметической. В результате получим последовательность чисел , вообще говоря, различных между собой. Таким образом, оценку можно рассматривать как случайную величину, значениями которой являются средние арифметические различных выборок объема n.

Интерпретация оценки как случайной величины позволяет говорить о ее основных характеристиках: математическом ожидании и дисперсии . С помощью этих характеристик можно сформулировать свойства, которыми должна обладать оценка, чтобы давать наилучшее приближение для неизвестного параметра.