76

§5. Основные статистики выборочного распределения

Как уже было отмечено, вариационные ряды являются выборочными аналогами случайных величин. Напомним, что для случайных величин существуют определенные числа, например, математическое ожидание или дисперсия, которые каким-либо образом характеризуют распределение вероятностей этой величины. Для вариационных рядов также можно указать такие характеристики, которые отражали бы присущие именно рассматриваемой выборочной совокупности закономерности. Понятно, что такие числовые характеристики будут вычисляться по выборочным данным, поэтому их иногда называют выборочными характеристиками, или просто статистиками распределения.

Совокупность числовых характеристик (статистик распределения) вариационных рядов можно условно разбить на несколько групп: характеристики центральной тенденции (средние величины); характеристики изменчивости (величины вариации); характеристики формы или вида ряда распределения.

К средним величинам или мерам центральной тенденции относятся числовые характеристики вариационных рядов, которые определяют либо среднее значение некоторых величин, либо некий центр. Средние величины делятся на аналитические и порядковые средние.

5.1. Средняя выборочная и ее свойства

Основной аналитической средней является средняя арифметическая или средняя выборочная.

Средняя выборочная – это одна из основных статистик распределения, которая характеризует среднее значение рассматриваемых выборочных данных.

Для нахождения средней выборочной существуют несколько формул, применение которых зависит от того, в каком виде представлены выборочные данные.

Если выборочные данные записаны в виде произвольной последовательности чисел: х₁, х₂, … , х_n, то для нахождения средней выборочной используется обычная формула, называемая формулой простой средней

(5.1)

Если выборочные данные записаны в виде вариационного дискретного ряда распределения частот

Варианты хi	x1	x2	…	xm
Частоты ni	n1	n2	…	nm

то для нахождения средней выборочной используется формула, называемая формулой взвешенной средней

(5.2).

Очевидно, что если в вариационном ряде заданы не частоты, а частости, то формула (5.2) примет вид

(5.3).

Название формулы взвешенной средней связано с тем, что частоты n_i часто называют весами, так как, по сути, они показывают какой вес имеет рассматриваемый вариант во всей совокупности, а сама операция умножения x_in_i называется взвешиванием.

Для статистических данных, записанных в виде интервального ряда

Интервалы	а1 – а2	а2 – а3	…	am − am+1
Частоты интервалов	n1	n2	…	nm

для вычисления средней арифметической используется формула, аналогичная формуле (5.2) с заменой варианты x_i на z_i – середину соответствующего интервала, именно

(5.4)

Необходимо отметить, что средняя выборочная обладает важной частной особенностью. Размерность средней выборочной совпадает с размерностью рассматриваемых выборочных данных.

Средняя выборочная является выборочным аналогом математического ожидания случайной величины, хотя эти характеристики имеют и принципиальные отличия. Если сравнить формулу для математического ожидания дискретной случайной величины и формулу (5.3), то внешняя схожесть этих формул очевидна. Однако в формуле для математического ожидания значения случайной величины умножаются на вероятности этих значений, а в формуле (5.3) значения вариант умножаются на относительные частоты этих вариант. В то же время следует отметить, что при определенных условиях, при неограниченном увеличении числа n средняя выборочная сходится по вероятности к математическому ожиданию (см. теорему Чебышева в параграфе 1). Поэтому при больших n среднюю выборочную считают приближенным значением математического ожидания или его оценкой.

Средняя выборочная обладает рядом свойств, аналогичных свойствам математического ожидания, а именно

1. Средняя выборочная постоянной равно самой этой постоянной.

2. Если все варианты умножить или разделить на одно и тоже число к, то будет выполнено равенство или более подробно , т.е. постоянную величину можно выносить за знак выборочной средней. Иначе говоря, если все варианты увеличить или уменьшить в одно и тоже число раз, то и средняя выборочная также увеличиться или уменьшится в это же число раз.

3. Если все варианты увеличить или уменьшить на одно и тоже число раз с, то и средняя выборочная увеличиться или уменьшится на это же число раз, т.е.

, так как .

4. Средняя выборочная алгебраической суммы двух (или нескольких) признаков равна алгебраической сумме средних выборочных этих признаков, т.е. .

5. Если выборочные данные разделены на некоторые группы, то общая средняя всех данных вычисляется по формуле

,

где r – число групп;

– средняя выборочная в j – ой группе (групповая средняя);

– сумма часто вариант, попавших в j – ую группу (объем группы).

6. Если все частоты вариантов умножить на одно и тоже число, то средняя выборочная не изменится.

7. Средняя выборочная отклонений вариантов от средней выборочной равна нулю, т.е. , так как

.

Пример 5.1. Найти среднюю арифметическую для

а) вариационного дискретного ряда

Варианты хi	3	4	6	9
Частоты ni	1	3	5	1

б) вариационного интервального ряда

Интервалы	1-3	3-5	5-7	7-9	9-11
Частоты интервалов	3	6	7	3	1

Решение. а) Воспользуемся формулой (5.2), получим

.

б) Припишем к интервальному ряду строку с серединами интервалов и воспользуемся формулой (5.4), получим

Интервалы	1-3	3-5	5-7	7-9	9-11
Частоты интервалов	3	6	7	3	1
zi	2	4	6	8	10

и . ■