52

§4. Виды вариационных рядов и их графические представления

При работе с большим количеством выборочных статистических данных одной из первых задач является расположение этих данных в виде, удобном для дальнейшего исследования.

Пусть имеются для изучения некоторые выборочные данные. Эти данные представляют собой множество расположенных в беспорядке чисел. Изучать такое множество, выявлять в нем какие-то закономерности достаточно сложно. Поэтому одной из первых задач математической статистики является расположение полученных экспериментальных данных в виде удобном для дальнейшего исследования, т.е. в виде так называемых вариационных рядов.

4.1. Определение вариационных рядов

Различные выборочные значения назовем вариантами ряда значений и обозначим: х₁, х₂, …. Прежде всего произведем ранжирование вариантов, т.е. расположение их в порядке возрастания или убывания. Для каждого варианта указывается свой вес, т.е. число, которое характеризует вклад данного варианта в общую совокупность. В качестве весов выступают частоты или частости.

Частотой n_i варианта х_i называется число, показывающее сколько раз встречается данный вариант в рассматриваемой выборочной совокупности.

Частостью или относительной частотой w_i варианта х_i называется число, равное отношению частоты варианта к сумме частот всех вариантов. Частость показывает, какая часть единиц выборочной совокупности имеет данный вариант.

Последовательность вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями), записанная в порядке возрастания (или убывания), называется вариационным рядом.

Вариационные ряды бывают дискретными и интервальными.

Для дискретного вариационного ряда задаются точечные значения признака, для интервального – значения признака задаются в виде интервалов. Вариационные ряды могут показывать распределение частот или относительных частот (частостей), в зависимости от того, какая величина указывается для каждого варианта – частота или частость.

Дискретный вариационный ряд распределения частот имеет вид:

Варианты хi	x1	x2	…	xm
Частоты ni	n1	n2	…	nm

Сумма всех частот равна общему числу наблюдений, т.е. объему всей совокупности: n = n₁+ n₂ + … + n_m.

Дискретный вариационный ряд распределения относительных частот (частостей) имеет вид:

Варианты хi	x1	x2	…	xm
Частости wi	w1	w2	…	wm

Частости находятся по формуле , i = 1, 2, …, m.

Сумма всех частостей равна единице: w₁+ w₂ + … + w_m = 1.

Пример 4.1. Для данной совокупности чисел

4, 6, 6, 3, 4, 9, 6, 4, 6, 6

построить дискретные вариационные ряды распределения частот и частостей.

Решение. Объем совокупности равен n = 10. Дискретный ряд распределения частот имеет вид

Варианты хi	3	4	6	9
Частоты ni	1	3	5	1

Дискретный ряд распределения частостей имеет вид

Варианты хi	3	4	6	9
Частости wi	0,1	0,3	0,5	0,1

■.

Аналогичную форму записи имеют интервальные ряды.

Интервальный вариационный ряд распределения частот записывается в виде:

Интервалы	а1 – а2	а2 – а3	…	am − am+1
Частоты интервалов	n1	n2	…	nm

Сумма всех частот равна общему числу наблюдений, т.е. объему совокупности: n = n₁+ n₂ + … + n_m.

Интервальный вариационный ряд распределения относительных частот (частостей) имеет вид:

Интервалы	а1 – а2	а2 – а3	…	am − am+1
Частости интервалов	w1	w2	…	wm

Частость находится по формуле , i = 1, 2, …, m.

Сумма всех частостей равна единице: w₁+ w₂ + … + w_m = 1.

Наиболее часто на практике применяются интервальные ряды. Если статистических выборочных данных очень много и их значения отличаются друг от друга на сколь угодно малую величину, то дискретный ряд для этих данных будет достаточно громоздким и неудобным для дальнейшего исследования. В этом случае применяют группировку данных, т.е. промежуток, содержащий все значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов и, подсчитав частоту для каждого интервала, получают интервальный ряд. Запишем более подробно схему построения интервального ряда, предположив, что длины частичных интервалов будут одинаковыми.