Из теоремы Чебышева следует

Теорема Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Тогда для любого ε>0, будет выполнено неравенство

,

где - относительная частота появления события А.

Теорема Бернулли устанавливает связь между вероятностью появления события и относительной частотой его появления. Кроме этого, она позволяет при этом предсказать, какой примерно будет эта частота в n испытаниях.

Смысл теоремы Бернулли состоит в том, что при большом числе повторных независимых испытаний, в каждом из которых возможно появление события А, практически достоверно, что относительная частота появления этого события (случайная величина) как угодно мало отличается от некоторой неслучайной величины – вероятности события А. Таким образом, в этой ситуации относительная частота перестает быть случайной.

Теорема Бернулли дает теоретическое обоснование для статистического определения вероятности некоторого события и позволяет обосновать широкое применение на практике вероятностных методов исследования.

При доказательстве теоремы Бернулли выводится неравенство, которое часто применяется на практике.

Следствие 3. Если вероятность события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна р, то при достаточно большом n для произвольного положительного ε справедливо неравенство

, (1.7)

где m – число появлений события А в n испытаниях, q =1p.

Пример 1.3. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%. Оценить вероятность того, что при проверке партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1%.

Решение. Из условия задачи следует, что n=1000; ε=0,01; р=0,03; q=1-р=0,97. Применяя формулу (1.7), получим

.

Таким образом, вероятность будет не меньше 0,709. ■

Пример 1.4. При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства превысит 0,96, если вероятность появления события в отдельном испытании р=0,7?

Решение. По условию задачи имеем ε=0,2; р=0,7; q=1-р=0,3. Требуется определить n с помощью неравенства (1.7). Условие Р>0,96 равносильно неравенству , откуда .

Следовательно, требуется 132 испытания. ■

Теорема Бернулли имеет обобщение в виде теоремы Пуассона, в которой предполагается, что вероятности событий в каждом испытании могут быть различны.

Теорема Пуассона. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятности появления события А равны р₁, р₂, …, р_n соответственно. Тогда для любого ε>0, будет выполнено неравенство

, (1.8)

где - относительная частота появления события А.

Теорема Пуассона значительно реже применяется на практике, чем теорема Бернулли. Однако она незаменима при нахождении приближенного значения средней вероятности события А в серии опытов, если при проведении этой серии одинаковость условий трудно гарантировать.

§2. Центральная предельная теорема

Кроме теорем, относящихся к закону больших чисел, существует еще одна группа теорем, которые образуют так называемую центральную предельную теорему. Эта группа теорем определяет условия, при которых возникает нормальный закон распределения. Такие условия достаточно часто встречаются на практике, что, по сути, и является объяснением того, что нормальный закон наиболее часто используется в случайных явлениях на практике. Различие форм центральной предельной теоремы состоит в формулировке разных условий, накладываемых на сумму рассматриваемых случайных величин. Важнейшее место среди всех этих форм принадлежит теореме Ляпунова.

Теорема Ляпунова. Если Х₁, Х₂, … , Х_n – независимые случайные величины, имеющие конечные математические ожидания и дисперсии, при этом ни одна из величин по своему значению резко не отличается от всех остальных, т.е. оказывает на сумму этих величин ничтожно малое влияние, то при неограниченном увеличении числа случайных величин n, закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному.

Следствие. Если все случайные величины Х₁, Х₂, … , Х_n одинаково распределены, то закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному при неограниченном увеличении числа слагаемых.

Теорема Ляпунова имеет большое практическое значение. Опытным путем было установлено, что приближение к нормальному закону идет достаточно быстро. При выполнении условий теоремы Ляпунова закон распределения суммы даже десяти слагаемых уже можно считать нормальным.

Существует более сложная и более общая форма теоремы Ляпунова.

Общая теорема Ляпунова. Если Х₁, Х₂, … , Х_n – независимые случайные величины, имеющие математические ожидания а_i , дисперсии σ²_i, центральные моменты третьего порядка т_i и

(2.1)

то закон распределения суммы Х₁+ Х₂+ … + Х_n при n неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией .

Смысл условия (2.1) состоит в том, чтобы в сумме случайных величин не было бы ни одного слагаемого, влияние которого на рассеивание суммы величин было бы подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных случайных величин. Кроме этого, не должно быть большого числа слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы очень мало по сравнению с суммарным влиянием остальных.

Одной из самых первых форм центральной предельной теоремы была доказана теорема Лапласа.

Теорема Лапласа. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, тогда при больших n справедливо приближенное равенство

(2.2)

где Y_n – число появлений события А в n опытах; q=1p; Ф(х) – функция Лапласа.

Теорема Лапласа позволяет находить приближенно вероятности значений биномиально распределенных случайных величин при больших значениях величины n. Однако при этом, вероятность р не должна быть ни достаточно маленькой, ни достаточно большой.

Для практических задач часто используется другая форма записи формулы (2.2), а именно

(2.3)

Пример 2.1. Станок выдает за смену n =1000 изделий, из которых в среднем 3% дефектных. Найти приближенно вероятность того, что за смену будет изготовлено не менее 950 хороших (без дефекта) изделий, если изделия оказываются хорошими независимо друг от друга.

Решение. Пусть Y – число хороших изделий. По условию задачи р = 1-0,03=0,97; число независимых опытов n =1000. Применим формулу (2.3):

■

Пример 2.2, В условиях предыдущего примера выяснить сколько хороших изделий k должен вмещать ящик, чтобы вероятность его переполнения за одну смену не превысила 0,02.

Решение. Из условия ясно, что . Найдем из этого условия число k. Имеем , т.е. .

По таблице функции Лапласа по значению 0,48 находим аргумент, равный 2,07. Получаем . ■

Пример 2.3. В банке в определенную кассу за получением некоторых денежных сумм стоят 16 человек. В настоящее время в этой кассе имеется 4000 ден. ед. Суммы Х_i, которые необходимо выплатить каждому из 20 человек – это случайные величины с математическим ожиданием т = 160 ден.ед. и средним квадратическим отклонением σ = 70 ден.ед. Найти вероятность того, что денег, имеющихся в кассе, не хватит для выплаты всем стоящим в очереди.

Решение. Применим теорему Ляпунова для одинаково распределенных случайных величин. Величину n = 20 можно считать достаточно большой, следовательно, общую сумму выплат Y = Х₁+ Х₂+ … + Х₁₆ можно считать случайной величиной распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием т_у = nт = 20 160= 3200 и среднеквадратическим отклонением .

Итак, . ■