Задание № 3.

Торговое предприятие разработало несколько вариантов плана продажи товаров на предстоящей ярмарке с учетом меняющейся конъюнктуры рынка и спроса покупателей, и получающиеся от их возможных сочетаний величины прибыли представлены в виде матрицы выигрышей. Определить оптимальный план продажи товаров.

æ = 0,6

Величины прибыли
План продажи	Состояние спроса
	П1	П2	П3	П4
А1	150	150	150	150
А2	100	300	300	300
А3	50	250	450	450
А4	0	200	400	600

Решение. Задачи такого типа относятся к играм с природой (или статистическим играм). Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. Под “природой” понимается совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений. Но иногда мы располагаем некоторыми вероятностными характеристиками состояний природы.

Игра с природой отличается от матричной игры, в которой принимают участие два сознательных игрока, безразличием природы к выигрышу. Природа может даже помогать игроку. Такие игры в основном бывают двух типов: когда вероятности состояний природы неизвестны и когда они известны. От этого зависит метод решения игры.

Для решения игры с природой был предложен ряд критериев, ни один из которых не является универсальным, поскольку каждый из них основывается на своих специфических допущениях. Поэтому следует применять по очереди все эти критерии, причем каждый критерий дает свою рекомендацию относительно того, какое решение игрока является наилучшим. Если одна из стратегий (решений) игрока фигурирует в качестве лучшей чаще других, она в результате признается оптимальной.

Рассмотрим эти критерии подробнее.

1 случай. Вероятности состояний природы неизвестны.(варианты 1-5)

Максиминный критерий Вальда. С точки зрения этого критерия, игра с природой ведётся как игра с разумным, агрессивным противником, который всегда реализует самое невыгодное для игрока состояние. Это крайне пессимистический критерий. Здесь нужно рассчитывать на самый наихудший вариант, и поэтому при любой стратегии игрока ожидается, что выигрыш будет наименьшим. Поэтому из этих наименьших выигрышей по каждой стратегии выбирается наибольшее значение, которое гарантирует игроку хотя бы наименьший возможный выигрыш:

(12)

где а_ij – элемент матрицы выигрышей.

Сначала из каждой строки матрицы выбираем минимальный элемент, а затем среди полученных значений выбираем максимальное. Таким образом, получаем:

W = = 150,

что соответствует стратегии А₁. Таким образом, согласно критерию Вальда, наилучшей является стратегия А₁, гарантирующая выигрыш, равный 150.

Критерий минимального риска Сэвиджа. Это также крайне пессимистический критерий, однако, в отличие от критерия Вальда, ориентируется не на выигрыш, а на риск проигрыша:

, (13)

где r_ij – элемент матрицы рисков, которая получается из матрицы выигрышей по формуле:

r_ij =

Матрица рисков имеет ту же размерность, что и матрица выигрышей, и формируется по столбцам матрицы выигрышей. В каждом столбце максимальный элемент заменяется нулем, а остальные элементы получаются как результат вычитания соответствующего элемента матрицы выигрыша из максимального в своем столбце. Таким образом, в данном случае получаем:

Теперь применяем формулу (13):

Причем минимум дают сразу две стратегии - А₃ и А₄, которые и являются наилучшими с точки зрения критерия Сэвиджа.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Согласно этому критерию, оптимальной считается стратегия, для которой выполняется соотношения:

, (14)

где – коэффициент пессимизма-оптимизма, который принимает значения в диапазоне

. Случай соответствует критерию Вальда, т.е. крайнему пессимизму. При возникает ситуация крайнего оптимизма, когда в матрице выигрышей отыскивается самый большой элемент. Обычно принимают , и конкретное значение коэффициента задается из субъективных соображений. Здесь в условиях задачи указано = 0,6. Применим формулу (14):

=240

Согласно критерию Гурвица, оптимальной следует считать стратегию А₄. Как видим, эта стратегия появляется в качестве оптимальной второй раз.

Критерий максимума математического ожидания выигрыша. Поскольку вероятности состояний природы нам неизвестны, принимаем все состояния равновероятными, т.е. .

Отсюда средний выигрыш от применения i –й стратегии:

(15)

Среди этих средних выигрышей выбираем максимальный:

М₁ = ¼ ( 150 + 150 + 150 + 150) = 150;

М₂ = ¼ ( 100 + 300 + 300 + 300) = 250;

М₃ = ¼ ( 50 + 250 + 450 + 450 ) = 300;

М₄ = ¼ ( 0 + 200 + 400 + 600 ) = 300.

= М₃ = М₄ = 300. Имеем две оптимальные стратегии - А₃ и А_4.

Критерий минимального среднего риска. Аналогичен предыдущему критерию, однако анализу подвергается матрица рисков:

(16)

Из этих средних значений рисков применения каждой стратегии выбираем наименьшее. Применим формулу (16), получим:

R₁ = ¼ ( 0 + 150 + 300 + 450 ) = 225;

R₂ = ¼ ( 50 + 0 + 150 + 300 ) = 125;

R₃ = ¼ ( 100 + 50 + 0 + 150 ) = 75;

R₄ = ¼ ( 150 + 100 + 50 + 0 ) = 75.

= R₃ = R₄ = 75. Здесь также имеем две оптимальные стратегии - А₃ и А_4.

Таким образом, по совокупности критериев наилучшей следует принять стратегию А₄. Это и есть решение задания.