2. Закон полного тока в дифференциальной форме

Основным законом, характеризующим свойства магнитного поля, является закон полного тока, который устанавливает связь между напряженностью магнитного поля и током. Он гласит: циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, сцепленных с этим контуром:

.

Положительное направление тока связано с направлением обхода контура правилом правого винта. Если обозначить плотность тока , то ток, проходящий через поверхность S, ограниченную кривой L,

.

Пользуясь теоремой Стокса можно записать равенство

Следовательно,

Так как это равенство справедливо для всех значений предела интегрирования S, то подинтегральные функции равны между собой:

.

(43.5)

Формула (43.5) представляет собой закон полного тока в дифференциальной форме и носит название первого уравнения Максвелла. Оно указывает на то, что магнитное поле является полем вихревым.

Ротор – это функция, характеризующая поле в рассматриваемой точке в отношении способности к образованию вихрей.

Вихревыми принято называть поля, в которых ротор векторной величины, описывающей поле, отличен от нуля. Так как для магнитного поля постоянного тока , то во всех точках пространства, где , поле вектора является вихревым.

В тех же точках пространства, где , и соответственно , магнитное поле можно рассматривать как потенциальное.

3. Раскрытие выражения rot = в декартовой системе

координат

В декартовой системе координат rot раскрывается следующим образом:

(43.6)

4. Раскрытие rot = в виде определителя в декартовой

системе

Ротор любого вектора, используемого в теории электромагнитного поля, можно представить в виде определителя третьего порядка. Так, rot в декартовой системе записывают в виде следующего определителя:

rot = .

(43.7)

5. Принцип непрерывности магнитного потока

Под магнитным потоком понимают поток вектора магнитной индукции через некоторую поверхность:

.

(43.8)

Магнитный поток измеряется в веберах (вб).

Магнитную индукцию можно определить как плотность магнитного потока. Если площадь S перпендикулярна вектору и поле однородное, то

Установлено, что магнитный поток сквозь замкнутую поверхность всегда равен нулю:

(43.9)

Пользуясь теоремой Остроградского, можно записать:

Так как это равенство справедливо для любого объема, то

(43.10)

Последняя формула выражает принцип непрерывности магнитного потока в дифференциальной форме. Она означает, что линии магнитной индукции не имеют ни истоков, ни стоков и являются замкнутыми сами на себя линиями.

6. Скалярный потенциал магнитного поля

Для совокупности точек, где , , магнитное поле можно рассматривать как потенциальное, т.е. как поле, каждая точка которого имеет скалярный магнитный потенциал φ_м. Следовательно, для таких областей можно принять

.

(43.11)

Так как то при имеем . Подставив в последнее выражение вместо , получим . Таким образом, скалярный потенциал магнитного поля подчиняется уравнению Лапласа.