1. Запись 2 закона Ньютона в виде дифференцированного уравнения 2 порядка

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

более общая формулировка 2го закона Ньютона:скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неё силе.

Запись второго закона Ньютона в виде 3х дифференцированных уравнений второго порядка.

a_x = Fx/m=Ẍ=d²x/dt²

a_y = Fy/m= Ÿ= d²y/dt²

a_z= Fz/m=Z̈= d²z/dt²

а - ускорение, которое приобретает тело массой m под действием силы F , являющейся равнодействующей всех приложенных к телу сил

dx - дифференциал от x(бесконечно малая величина)

Ẍ, Ÿ, Z̈- вторая производная

Эта запись позволяет решить 2 типа задач.

1. Известны силы (Fn) и по этим силам найти закон движения тела (траекторию)

d²ṝ / dt² = F/m

Найти закон движения - траекторию : x(t); y(t); z(t); - скалярные равенства, описывающие движение материальной точки по каждой из трех осей

2. И наоборот, если известна траектория находят силы:

F=ℽ - закон всемирного тяготения

где :

M - масса Земли

m - масса данного тела

ℽ-

е-

к-

F- равнодействующая всех приложенных сил

2. Незатухающие гармонические колебания (пружинный маятник)

Гармоничные - это колебания, при которых параметры системы изменяются по гармоническому закону, т.е. по закону sin или cos.

Максимально отклонение точки от состояния равновесия называется амплитудой колебания.

Ẍ

F - гармоническая сила

k- жёсткость пружины

m- масса груза

Ẍ- втроая производная

х(t)-?

m*Ẍ+kx=0

Ẍ+(k/m)x=0

k/m=ω₀²(омега) - дифференцированное уравнение 2-го порядка. линейное и однородное

X=X₀COS(ω₀t+α)

X=X₀SIN(ω₀t+α')

α и α' – начальные фазы колебания. Приведенные формулы отличаются определением начальной фазы и при α'= α +π/2 полностью совпадают.

x₀- амплитуда колебаний

(ω₀t+α)- фаза колебаний

Для фазы единицами измерения являются радианы. Фаза однозначно определяет не только координату тела в любой момент времени, но так же скорость или ускорение. Поэтому считается, что фаза колебаний определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.

α- фаза в момент t=0 - начальная фаза колебания

ω₀-циклическая частота колебаний

t - время

Если выразить время t в количестве периодов, которые пройдены от начала колебаний, то любому значению времени t, соответствует значение фазы, выраженной в радианах. Например, если взять время t = Т/4, то этому значению будет соответствовать значение фазы pi/2.

Таким образом, мы можем изобразить график зависимости координаты не от времени, а от фазы, и получим точно такую же зависимость. На следующем рисунке представлен такой график.

ω₀= =[рад/с]=2π*ν(ню)

T - период одного полного колебания

ν=[1/c]=Гц

ω₀ = = 2π/T⇒

T = 2π -формула Томсона

k - жёсткость пружины

m - масса груза

3. Затухающие колебания, вынужденные. Резонанс. (Логарифмический декремент затухания по формуле Лямбда= 1/N) (доп вопрос - как качаясь на качелях найти логарифмический декремент затухания)

Рассмотрим свободные затухающие колебания — колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Линейными системами являются, например, пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колебательный контур, индуктивность, емкость и со- противление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде

где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс;

б = const — коэффициент затухания,

w0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т.е. при б — 0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.

Промежуток времени   , в течение которого амплитуда уменьшается в e раз, называется временем релаксации.

Период затухающих колебаний вычисляют по формуле

–	циклическая частота затухающих колебаний;

  , где

Если затухания выражены слабо (β→0), то .

Если A(t) и A(t + T) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение называется декрементом затухания, а его логарифм — логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная величина для данной колебательной системы.

Для характеристики колебательной системы используют понятие добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

 

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.

М АЯТНИК. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы F= —кх, сила трения пропорциональна скорости, т. е. Fтр= --rv = —кх, где r —коэффициент сопротивления; знак «-» указывает на противоположные направления силы трения и скорости. При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид ---->

Вынужденные колебания.Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы.

во-первых, она раскачивает систему и сообщает ей определенный запас энергии;

во-вторых, она периодически восполняет потери энергии (расход энергии) на преодоление сил сопротивления и трения.

Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по закону:

 С учетом - закон движения пружинного маятника запишется в виде:

Проведя подстановки  ,   ,   – собственная частота колебаний системы перейдем к уравнению .

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся электродвижущей силой, называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний (механических и электромагнитных). Резонанс.

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты w. Механические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.

Резонансная частота определяется из условия максимума для амплитуды вынужденных колебаний:

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим или электрическим).  . 

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (или, что то же самое, от частоты колебаний) можно представить графически (рис. 8.11). Отдельные кривые соответствуют различным значениям “b”. Чем меньше “b”, тем выше и правее лежит максимум данной кривой (см. выражение ). При очень большом затухании   резонанс не наблюдается – с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (нижняя кривая на рис. 8.11).