§ 32.5. Понятие о неравноточных измерениях

Геодезические измерения, производимые по определению длин линий, углов и т.п. бывают равноточные и неравноточные.

Равноточные измерения - это такие измерения, которые производятся одним и тем же инструментом, в одинаковых временных условиях, одним и тем же исполнителем, одной и той же методикой измерений (количества).

Если измерения произведены не в одинаковых условиях или им соответствуют свои среднеквадратические ошибки, то такие измерения называют неравноточными. Неравноточные измерения - это значит измерения, произведены с разной точностью.

При обработке неравноточных измерений вводят новую характеристику точности измерения, называемую весом измерения и обозначенную буквой “Р”. За вес измерения может быть принято количество измерений (n) величина, обратная квадрату среднеквадратической ошибки (m)отдельного измерения и др., например:

Pi=1/m²_i

или

Pi=A/mi² (116)

где А - произвольное число, принимаемое таким образом, чтобы после деления его на mi² получалось целое число (желательно).

Если было произведено несколько неравноточных измерений одной и той же величины, то ее вероятнейшее значение будет неправильным, если , вычислять его как арифметическое среднее из всех измерений.

Известно, что точность измерения повышается с увеличением количества измерений. Отсюда следует, что вес измерения прямо пропорционален количеству измерений. Пусть какая-то величина была измерена пять раз (Р_l=5) и было получено ее значение как арифметическая средняя x₁ из всех измерений. Эта же величина была измерена вторично, но только тремя измерениями и было получено средне-арифметическое значение x₂. Наконец, была проведена третья серия измерений, состоящая, например, из семи измерений и было вычислено третье значение этой величины, как средне-арифметическое x₃. Очевидно, что наибольшим весом обладает третье измерение x₃, поскольку оно получено наибольшим количеством измерений, а наименьшим — второе. Весовое среднее (или общая арифметическая середина) может быть вычислена по формуле:

Х = (x₁ ґ 5 + x₂ ґ 3 + x₃ ґ 7) / (5 + 3 + 7) (117)

В данном случае за вес принято количество отдельных измерений, проведенных в каждом ряду.

Пусть измерена какая-то величина и было получено два ее значения (x₁ и x₂) с соответствующими среднеквадратическими ошибками m₁² и m₂². Тогда общая арифметическая середина из обоих измерений может быть вычислена по такой формуле (помня, что за вес мы приняли ф.116):

Х = (x₁ ґ 1/m₁² + x₂ ґ 1/m₂²) / (1/m₁² + 1/m₂²) (118)

В общем виде эту формулу запишем:

Х = (x₁ ґ Р₁ + x₂ ґ Р₂ + ... + x_n ґ Р_n) / (Р₁ + Р₂ + ... +Р_n) (119)

или, введя обозначение Гаусса получим:

Х = [x ґ P] / P (120)

Рассмотрим на конкретном примере обработку неравноточных измерений и оценку их точности.

Таблица 10

Пусть измерен один и тот же угол сначала дважды, затем четыре раза, а потом десять раз (табл. 10 гр. 2). Получены средние значения этого угла в каждой серии (гр. 3). Вычислены среднеквадратичные ошибкиотдельных измерений в каждой серии (гр. 4).

Весом результата измерения в каждой серии может быть количество измерений или величина обратная квадрату среднеквадратической ошибки.

Несмотря на то, что результат третьей серии измерен и получен с большим весом (10), а другие результаты получены с меньшими весами, тем не менее, за окончательное значение угла должна быть принята величина, найденная из всех измерений, с учетом весов.

Вычислим средне-взвешенное значение измеренного угла (общая арифметическая середина) по формуле 119.

Х = 34°41́00˝ + (20І*2 + 30˝*4 + 40˝*10) / (2 + 4 + 10);

Х = 34°41́00˝ + 560˝ / 16 = 34°41́35˝

Поскольку среднеквадратическая ошибка отдельных измерений в сериях нам известна (гр.4), вычислим их веса по формуле 113 и получим:

Р₁ = 1/625; Р₂ = 1/100; Р₃ = 1/25

Такие значения весов громоздки и неудобны в расчетах, поэтому определим веса по формуле 113, приняв в ней за А = 625. Тогда:

Р₁ = 625/625 = 1; Р₂ = 625/100 = 6,25; Р₃ = 625/25 = 25,

Вес результата в первой серии измерений равен единице, а веса остальных результатов соответственно 6,25 и 25. То есть, наиболее точным результатом является угол в 34°41ў40. Тем не менее нельзя пренебрегать и другими результатами, полученными с меньшей точностью. Поэтому вычисляют средневесовое или общую арифметическую середину по формуле 104.

Х = 34°41́00״+ (20״׳+ 30״׳*6.25 + 40״׳*25) / (1 + 6.25 + 25);

Х = 34°41́00״ + 12075 / 32.25 = 34°41׳37״

Как видно из произведенных расчетов, результаты общей арифметической середины получились почти одинаковыми (2" расхождение). То есть, за веса измерений можно принимать или количество измерений или величины обратные квадрату среднеквадратической ошибки (формула 120).

Общая арифметическая середина имеет ошибку, которая вычисляется по формуле:

М₀ = m / √[P](121)

где m — среднеквадратическая ошибка измерения, вес которого единица (табл. 10 гр. 4, 6).

В рассматриваемом примере:

М₀ = 25І / √(32,25) = ± 4І

Таким образом, общая арифметическая сумма найдена с ошибкой, в 6 раз меньше, чем ошибка отдельного измерения, вес которого единица (25״.)