§ 15. Вычисление приращений координат. Линейная увязка теодолитного хода

Приращения координат сторон теодолитного хода вычисляются по формулам прямой геодезической задачи (рис.30).

Прямая геодезическая задача

Рис. 30

Дано: координаты точки 1(X₁,Y₁) , дирекционный угол стороны 1-2 (α_1-2), горизонтальное проложение стороны 1-2.

Определить: координаты точки 2 через приращения координат.

Из рисунка 30 видно, что приращения координат (ΔX_1-2, ΔY_1-2) в прямоугольном треугольнике 12А являются катетами и равны соответственно:

ΔX_1-2=d_1-2 · cos α_1-2 (56)

Δ Y_1-2=d_1-2 · sin α _1-2 (57)

координаты точки 2 равны:

Х₂= Х₁+ΔХ _1-2 (58)

У₂=У₁+ΔУ_1-2 (59)

Выражение 58 (59) можно сформулировать словесно так: Координаты следующей точки равны координате предыдущей точки плюс приращение координат между этими точками и записаны в общем виде:

Х_n =Х_n-1+ΔХ_[(n-1)-n] (60)

У_n=У_n-1+ΔУ_[(n-1)-n] (61)

В расчетно-графической работе сначала вычисляются приращения координат стороны 1-2 , затем стороны 2-3 и т. д., записывая результаты в графах табл. 3 в приложении 2.

Для замкнутого полигона теоретически должно быть так, что:

ΣΔX = 0 и ΣΔY = 0

Ввиду появления случайных ошибок измерения длин сторон и углов, а также ошибок вычислений, возникают отклонения от нуля, т.е. появляются невязки (f_x, f_y) по осям Х и У, которые вычисляются по формулам:

f_x = ΣΔX, (62)

f_y = ΣΔY. (63)

Для этого надо найти суммы вычисленных приращений координат и оценить, велики или малы полученные невязки. Для чего вычисляют абсолютную (f_абс) невязку по формуле:

f_абс = f_x² + f_y ² (64)

и относят её к периметру полигона (P) т. е. находят относительную невязку (f_отн):

f_отн=f_абс/P, (65)

где Р=d₁+d₂+… – сумма горизонтальных проложений сторон теодолитного хода.

Величина относительной ошибки регламентируется инструкциями Роскартографии. Так для теодолитного хода она равна:

f_отн= 1/2000. (66)

Если после вычисления невязки (f_абс) получится, что:

f_абс/P ≤ 1/2000, (67)

можно считать, что произведённые измерения углов и длин, а также вычисления выполнены достаточно точно. Ищут ошибки вычислений и измерений.

Если условие 66 соблюдается, производят линейную увязку теодолитного хода, которая заключается в распределении невязок (f_x,f_y). Невязки распределяются с обратным знаком, прямо пропорционально горизонтальным проложениям сторон на вычисленные приращения координат для чего вычисляются поправки (δ_xi ,δ_yi) по формулам:

_xi = - (fx/P) d_i, (68)

_yi = - (fy/P) d_i. (69)

Поправки вычисляют в сантиметрах и записывают над цифрами сантиметров приращений координат в соответствующих графах (табл. 3 в приложении 2).

Например, поправка в приращение ∆Y стороны 1-2 будет равна:

δ_y1–2 = -(-0,08м/290,26м) • 99,32м = +3см.

После вычисления поправок в приращения координат подсчитывают «исправленные» приращения координат по формулам (по оси Х и по оси У)

∆Х_iиспр = ∆Х_i^выч + δ_xi, (70)

∆У_iиспр = ∆У_i^выч + δ_уi. (71)

Например, исправленное приращение координат стороны 1-2 будет равно:

∆У_{1–2испр} = – 10,81_м + 3_см = –10,78_м.

После исправления приращений координат производят контроль линейной увязки, а именно находят суммы исправленных приращений по Х и У. Эти суммы для замкнутого полигона должны быть равны нулю, т.е.:

Σ∆Х_испр = 0 Σ∆У_испр = 0 (72)

Если условие (72) не будет соблюдено, значит, допущена ошибка в расчётах при распределении невязок. Действия надо повторить.