5. Доказать, что четыре точки а(1; –1; 2), b(2; –5; 1), c(6; –7; 2), d(–1; 7; 4) лежат в одной плоскости.

Решение. Задача сводится к проверке условия компланарности трех векторов , : три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Построим векторы , и найдем их координаты:

= {2 – 1; -5 – (-1); 1 - 2} = {1; -4; -1},

= {6 – 1; -7 – (-1); 2- 2} = {5; -6; 0},

= {-1 – 1; 7 – (-1); 4 – 2} = {-2; 8; 2}.

Вычислим смешанное произведение векторов , в координатной форме. Для этого составляем определитель третьего порядка, строками которого являются координаты векторов , . Разлагая определитель по первой строке, получаем:

, ) = = + 4∙ - = -12 +40 -28 = 0.

Таким образом, мы получили, что смешанное произведение трех векторов равно нулю

, ) = 0,

следовательно, условие компланарности выполняется и векторы , лежат в одной плоскости, следовательно, и точки, которые задают векторы, также лежат в одной плоскости.

6. Определить, при каких значениях α и β векторы = {-2, 3, β} и ={α, -6, 2} коллинеарны.

Решение: По условию коллинеарности векторов их векторное произведение равно нулевому вектору:

[ , ] = = = 0 + 0 + 0 .

Найдем векторное произведение векторов и :

[ , ] = (6 + 6β) + (αβ + 4) + (12 – 3α) . Тогда:

=> .

7. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам = {2, 3, -1} и ={1, -2, 3} и удовлетворяет условию ( , 2i – j + k) = -6.

Решение. По свойству скалярного произведения для двух перпендикулярных векторов ( = 0. Обозначим координаты искомого вектора = {x, y, z} и запишем условие перпендикулярности векторов и в координатной форме:

( ) = 2x + 3y – z = 0,

( ) = x – 2y + 3z = 0. Перепишем третье условие, представляющее собой скалярное произведение в координатной форме:

( , 2i – j + k) = 2x – y + z = -6. Получим систему уравнений:

Из первого уравнения выразим z и подставим полученное выражение во второе уравнение, приведем подобные:

Сократим обе части второго уравнения на 7:



Подставим полученные выражение в третье уравнение:

2x + x + 2x – 3x = -6

2x = -6

x = -3. Получим:

=> . Запишем искомый вектор = {-3, 3, 3}.

8. Даны вершины пирамиды А (2; –1; –2), B(1; 2; 1), C(5; 0; – 6), D(–10; 9; –7). Найти объём пирамиды и длину её высоты, опущенной на грань ABC.

Решение. Выполним схематический чертеж пирамиды с вершинами ABCD (рис. 2.3).

Построим векторы , . Объем пирамиды находим с помощью смешанного произведения:

V = | , ) |.

Найдем координаты векторов , :

= {-1, 3, 3}

{3, 1, -4}

= {-12, 10, -5}.

Вычислим смешанное произведение векторов , координатной форме. Для этого составляем определитель третьего порядка, строками которого являются координаты векторов , .

, ) = = - 3∙ + 3∙ =

-35 +189 + 126 = 280

Подставим значение смешанного произведения в формулу для вычисления объема пирамиды, получим:

V = = .

Для того, чтобы найти высоту пирамиды h, воспользуемся известной формулой объема пирамиды:

V = hS h = ,

где S – площадь основания ABC, может быть найдена как половина модуля векторного произведения векторов – сторон и .

S = [ ]|.

Вычислим векторное произведение в координатной форме:

[ ] = = -15 + 5 – 10 = {-15, 5, -10}.

Найдем модуль:

[ ]| = = = 5

Вычислим площадь основания ABC:

S = . Теперь найдем высоту пирамиды h:

h = = .

9. Относительно некоторого базиса , , заданы векторы , , , = {3,-3,4},

а) докажите, что векторы можно принять за новый базис;

б) найдите координаты вектора в базисе .

Решение. а) докажем, что векторы образуют базис. Для этого достаточно установить их линейную независимость. Поскольку векторы однозначно определяются своими координатами в базисе , , то исследование проведем, определив ранг матрицы, строками которой являются координаты векторов в базисе , , . Используя метод элементарных преобразований, приведем матрицу к трапециевидной форме:

~

Определитель преобразованной матрицы равен произведению диагональных элементов 1≠0. Следовательно, это ее базисный минор, и ранг матрицы равен 3, что означает линейную независимость ее строк, или, что тоже самое, линейную независимость векторов . Значит, они образуют базис.

б) найдем координаты вектора в этом базисе. Согласно теореме о разложении вектора по базису, любой вектор в пространстве может быть представлен единственным способом в виде линейной комбинации базисных векторов, т. е.

= x + y + z .

Т. к. линейные операции над векторами сводятся к точно таким же операциями над их одноименными координатами, запишем это выражение в координатной форме и получим систему уравнений:

,

которую решим методом Гаусса.

Сформируем расширенную матрицу :

1 0 2      3 0 1 -1      -3 2 1 4      4

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на 2:

1 0 2      3 0 1 -1      -3 0 1 0      -2

Вычтем из строки 3 строку 2:

1 0 2      3 0 1 -1      -3 0 0 1      1

Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на -1:

1 0 2      3 0 1 0      -2 0 0 1      1

Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на 2:

1 0 0      1 0 1 0      -2 0 0 1      1

Ранг расширенной матрицы равен рангу основной = 3, следовательно, система совместно и существует только одно ее решение.

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

		x1							=		1
					x2				=	-	2
								x3	=		1

Заданная система уравнений имеет единственное решение:

x1

=

1

x2

=

-

2

x3

=

1

Получаем, что разложение вектора по базису имеет вид:

= – 2 + .

27