Решение.

а) заметим, что векторы и заданы в декартовом базисе, а значит, могут быть представлены в виде разложения по базису i, j, k:

= i – j +3k; = -i + 3j – 2k. Тогда искомый вектор

= 2 + 3 - 4 = 2(i – j +3k) + 3(-i + 3j – 2k) – 4(i + j + k).

Воспользуемся свойством дистрибутивности операции умножения относительно сложения векторов, ассоциативности и коммутативности:

= 2(i – j +3k) + 3(-i + 3j – 2k) + 4(-i – j - k).

Применим свойство ассоциативности операции сложения, тогда:

= 2i – 2j +6k -3i + 9j – 6k - 4i – 4j - 4k.

Используем свойство коммутативности операции сложения:

= 2i – 3i – 4i – 2j + 9j – 4j+6k– 6k- 4k.

Применим свойство дистрибутивности операции умножения относительно сложения чисел и получим ответ:

= – 5i + 3j - 4k.

Зададим в декартовом базисе: = {-5; 3; -4}

Запишем формулу для вычисления модуля вектора .

|d| = = = = = 5 .

Направляющие косинусы вектора можно найти, воспользовавшись формулами:

cos α = ; cos β = ; cos γ = .

cos α = ; cos β = ; cos γ = . Следовательно:

cos α = ; cos β = ; cos γ = .

Чтобы найти орт вектора, необходимо этот вектор поделить на его модуль:

= .

= = ( ; ; .

б) скалярное произведение векторов = {x₁, y₁, z₁} и = {x₂, y₂, z₂}

в координатной форме в декартовом базисе имеет вид:

( ) = x₁ x₂ + y₁ y₂ + z₁ z₂ (2.3)

По условию задачи = + , = - . По аналогии с пунктом а) вычислим и :

= (i – j +3k) + (i+j+k) = 2i +4k.

= (-i + 3j – 2k) – (i – j +3k) = -2i + 4j – 5k.

Вычислим скалярное произведение по формуле (2.3)

( + , - ) = (2i +4k, -2i + 4j – 5k) = -4 -20 = -24.

в) векторное произведение векторов = {x₁, y₁, z₁} и = {x₂, y₂, z₂} в координатной форме в декартовом базисе имеет вид:

[ , ] = (2.4)

Воспользуемся результатами вычисления координат векторов и из предыдущего пункта б) = (i – j +3k) + (i+j+k) = 2i +4k , = (-i + 3j – 2k) – (i – j +3k) = -2i + 4j – 5k и подставим их в формулу (2.4). Получим:

[2i +4k , -2i + 4j – 5k] = = - + = -16 + 2 +8 .

г) смешанное произведение векторов = {x₁, y₁, z₁}, = {x₂, y₂, z₂} и = {x₃, y₃, z₃} в координатной форме имеет вид:

, , ) = (2.5)

Подставим координаты векторов , и в формулу (2.5) и вычислим определитель, разлагая его по первой строке:

, , ) = = + + 3∙ = 5 +1 -12 = -6.

3. Найти скалярное произведение ( ) , если = 3 + 2 , = - , | =5, =2, ( ) = .

Решение. Для векторов не указаны координаты, поэтому воспользуемся свойствами скалярного произведения и определением:

– свойство дистрибутивности ( + , ) = ( ) + ( , );

– сочетательное свойство (λ ) = ( ) = λ( );

– свойство коммутативности ( ) = ( ;

– скалярный квадрат ( ) = ;

– определение скалярного произведения: ( ) = |∙ ∙cos( ).

Имеем:

( ) = (3 + 2 - ) = (3 + (3 - ) + (2 + (2 - = 3( - 3( ) +2 ( – 2 ( = 3 - ( ) - 2 .

Вычисляем каждое слагаемое:

3 = 3∙25 = 75,

- ( ) = - 5∙ 2∙ соs = 0

- 2 = -2∙4 = -8.

Складывая полученные значения слагаемых, получаем ответ:

75 – 8 = 67.

4. Даны три вершины параллелограмма ABCD А(–3; –7; –5), B(0; –1; –2), C(1; 1; 0).

Найти:

а) координаты четвёртой вершины D;

б) длину высоты, опущенной из вершины D на сторону AB;

в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD.

Решение. Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 2.2).

а) заметим, что стороны параллелограмма попарно параллельны, а значит, векторы и равны (с учетом направления)

= (2.6)

Обозначим координаты искомой точки D(x; y; z) и найдем координаты векторов и . Как известно, координаты вектора по двум точкам находятся как разность соответствующих координат конечной и начальной точки:

= {0 – (-3); -1 – (-7); -2-(-5)} = {3; 6; 3}

= {1-x; 1 – y; -z}.

Запишем равенство (2.6) в координатной форме:

откуда находим координаты точки D(-2; –5; –3).

б) для того, чтобы найти высоту DD', опущенную из вершины D на сторону AB (рис. 2.2), используем известную формулу площади параллелограмма S = a∙h , где а – длина основания, h –высота параллелограмма. Отсюда

h = (2.7)

В нашем случае h = | DD' |, а = . Площадь параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах, может быть найдена как модуль векторного произведения векторов :

S = |[ ]|.

Подставляя данные нашей задачи в (2.7), запишем общую формулу для вычисления длины высоты:

| DD' | = (2.8)

Координаты вектора мы уже знаем, найдем координаты вектора :

= {-2 – (-3); -5 – (-7); -3-(-5)} = {1; 2; 2}.

Вычислим длину вектора | |:

| | = = = .

Вычислим векторное произведение векторов и :

[ , ] = = - + = 6 - 3 .

| [ , ] | = = = . Подставим полученные значения длин векторов в (2.8) и получим длину высоты, опущенной из точки D на основание АВ:

| DD' | = = .

в) косинус угла φ между векторами и равен отношению скалярного произведения векторов и к произведению их длин:

соs φ = (2.9)

На диагоналях параллелограмма построим векторы и и будем искать косинус угла между этими векторами.

= {1 – (-3); 1 – (-7); 0-(-5)} = {4; 8; 5},

= {-2 – 0; -5 – (-1); -3-(-2)} = {-2; -4; -1}.

Вычислим длины векторов и :

| | = = ,

| | = = .

Вычислим скалярное произведение векторов и :

, = 4∙(-2) + 8∙(-4) + 5∙(-1) = -45.

Подставим полученные значения в (2.9) и найдем косинус угла между диагоналями AC и BD:

соs φ = = = .

Вернемся к условию задачи: необходимо найти косинус острого угла φ. Это значит, что φ принимает значения от 0 до 90°, а cos φ ≥ 0. Найденное значение соответствует тупому углу. Чтобы

найти значение искомого угла, воспользуемся формулами приведения:

cos(180 - φ) = - соs φ = - ( ) = .