X1, x2, x3, x4 оставим в левой части уравнений, а x5, x6 перенесем вправо.

Окончательный вид системы следующий:

x1

=

-

x5

+

23 3

x6

x2

=

x5

-

34 3

x6

x3

=

-

x5

+

17 3

x6

x4

=

1 3

x6

x₅, x₆ - свободные переменные. =>

Х =

При построении фундаментальной системы решений (ФСР) необ-ходимо помнить ее определение и свойства. Фундаментальной системой решений называется любая совокупность из (n–rang A) решений однородной системы, удовлетворяющая двум условиям: 1) она линейно независима; 2) любое решение системы можно представить в виде линейной комбинации ФСР.

	Х5 =a	Х6 =b
I частное решение	1	0
II частное решение	0	1

Х = С₁ + С₂.

Индивидуальное домашнее задание № 2

1. Определить координаты точки C на отрезке AB, если А(–4; 1; 2), В(4; 5; 0) и | AC |:| AB | = 5:3.

Решение. Рассмотрим прямую, на которой расположены точки ABC в заданном соотношении (рис. 2.1).

Построим векторы AC и CB и заметим, что они коллинеарны. Поэтому, воспользуемся свойством коллинеарных векторов (с учетом их направления).

= λ (2.1)

По условию задачи = , значит λ = . Таким образом, условие деления отрезка в заданном отношении в векторной форме имеет вид:

= (2.2)

Обозначим координаты искомой точки С(x; y; z), найдем координаты векторов и .

= {х +4; у -1; z – 2},

= {4-х; 5-у; -z} и запишем формулу (2.2) в координатной форме:

.

Решаем систему уравнений:

  .

Таким образом С ( ; ; ).

2. Даны три вектора

={1; –1; 3},

={–1; 3; –2},

= i+j+k.

Требуется найти:

а) вектор = 2 + 3 - 4 , его модуль, направляющие косинусы, орт ;

б) скалярное произведение ( + , - );

в) векторное произведение [ + , - ];

г) смешанное произведение ( , , ).