Индивидуальное домашнее задание № 1

1. Вычислить произведения матриц а∙в и в∙а, если

А = , В= .

Решение. Воспользуемся определением произведения матриц С = A∙B: произведением матрицы А_m×n = (a_ij) на матрицу B_n×k = (b_ij) называется матрица C_m×k = (c_ij), элемент ij c которой равен сумме произведений элементов строки с номером i матрицы А на соответствующие элементы столбца с номером j матрицы В:

c_{ij =} a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + a_in b_nj = a_im b_mj (1.1)

Как видно из формулы (1.1) произведение матриц возможно только в случае согласованности матриц: если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй. В противном случае произведение матриц невозможно. Проверим согласованности заданных матриц А и В. Размер матрицы А=(3х2), В=(2х3). Внутренние значения размеров матриц совпадают. В результате произведения получим матрицу размером (3х2)(2х3)=(3х3):

А∙В = ∙

= .

Проверим возможность произведения заданных матриц B и A. (2х3)(3х2)=(2х2). Внутренние значения размеров матриц совпадают. В результате произведения получим матрицу размером (2х2):

В∙А = ∙ =

= .

2. Вычислить определитель:

Решение. Воспользуемся теоремой о разложении определителя по строке:

=

А₁₁, А₁₂, А₂₂, А_1n, A_n2 - алгебраические дополнения к элементам а₁₁, а₁₂, а₂₂, а_1n, а_n2 . По определению алгебраического дополнения:

А_ij = М_ij ,

М_ij – минор элемента а_ij , то есть определитель, оставшийся после вычеркивания i – той строки и j – того столбца. Например, M₃₄ – минор элемента а₃₄ = 4.

М₃₄ = .

Разложение определителя можно проводить по элементам любого ряда. Выполним разложение по 4 – ому столбцу, так как в этом ряду есть нули и единицы.

= 2∙ А₁₄ + 0∙А₂₄ + 1∙А₃₄ + 1∙А₄₄ .

= 2∙ + 1∙ + 1∙ .

Продолжим вычисление определителей третьего порядка, разлагая их по первым строкам:

= 2∙ - 1∙ + 3∙ = 2∙ (2∙(-1) - (-2) ∙(-4)) +1 ∙ (1∙(-1) - 4∙ (-2)) + 3∙ (1∙ (-4) -2∙4) = -20 +7 – 36 = -49

= 3∙ + 1∙ = 3∙ ((-1) ∙(-1) -3∙(-4)) + (2∙(-4) - 4∙(-1)) = 39 – 4 = 35

= 3∙ + 1∙ = 3∙((-1) ∙(-2) - 2∙3) + (2∙2 - 1∙(-1)) = -12 + 5 = -7

= -2∙ (-49) – 35 -7 = 98 – 42 = 56.

3. Решить матричное уравнение:

Х∙ + 3∙ = .

Решение. Выразим в явном виде выражение, содержащее неизвестное:

Х∙ = - 3∙

Х∙ = -

Х∙ = -

Х∙ =

Х∙ = .

Обозначим матрицы:

А = , В = . Получим матричное уравнение:

Х∙А = В (1)

Чтобы выразить неизвестную матрицу Х необходимо помнить, что операция деления на матрицу не определена, однако определена обратная матрица . Кроме того, необходимо помнить, что произведение матриц не коммутативно:

А∙В ≠ В∙А.

Поэтому, чтобы выразить неизвестную матрицу Х, нужно воспользоваться определением обратной матрицы А∙ = Е или А = Е (Е – единичная матрица) и домножить обе части уравнения (1) на справа. Получим:

Х∙А∙ = В∙

Х∙ Е = В∙

Умножение любой матрицы на единичную не изменяет матрицы, поэтому решение уравнения будет находится как:

Х = В∙

Воспользуемся схемой построения обратной матрицы:

= .

Вычислим для А = .

det A = -12 + 10 = -2.

А₁₁ = ∙ -4 = -4, А_{12 =} ∙ 5 = -5

А₂₁ = ∙ (-2) = 2, А₂₂ = ∙ 3 = 3.

= - .

Вычислим неизвестную матрицу Х:

Х = - ∙ = - = - = .