2. Жоғары шегі айнымалы интегралдың туындысы.

[a,b] сегментінде үздіксіз y=f(x) функциясы берілсін. интегралын қарастырайық. Жоғары шегі айнымалы болатын интеграл кезкелген х-тің функциясы болады .

Теорема. Жоғары шегі айнымалы болатын интегралдың туындысы интегралдау айнымалысы жоғары шегімен алмастырылған интеграл астындағы функцияға тең болады .

Теорема. Кезкелген үздіксіз функция f(x) тің алғашқы функциясы болады, соның бірі интегралы болады.

3. Ньютон-Лейбниц формуласы.

Жоғары шегі айнымалы болатын интегралдың туындысы туралы теорема интегралдың қосынды мен шекке көшусіз ақ анықталған интегралды есептеудің жеңіл жолын көрсетуге көмектеседі. Сондықтан, егер F(x)-f(x) функциясының бір алғашқы функциясы болса, онда I(x)=F(x)+C немесе (*) болады.

болғандықтан, (*) теңдікте х=а қойсақ, болады. Бұдан C=-F(a) болады. Олай болса, болады. Егер х=в болса, (**) болады. Бұл (**) формула Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады. Ол анықталған интегралды есептеу үшін қолданылады. F(b)-F(a) айырмасын белгілейміз. . Осы белгілеуді пайдаланып, Ньютон-Лейбниц формуласын былай жазуға болады. .

4. Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру.

.берілсін, мұндағы f(x) функциясы [a,b] кесіндісінде үздіксіз болcын. формуласымен жаңа айнымалы t-енгізейік.

Егер 1)

2) кесіндісінде үздіксіз болсын.

3) кесіндіде анықталған және үздіксіз болсын. Сонда анықталған интегралда айнымалыны ауыстырудың төмендегідей формуласы орынды болады. .

5. Анықталған интегралда бөлшектеп интегралдау.

Анықталған интегралда бөлшектеп интегралдау формуласы: болады. Мысалы.

1. Декарт координатындағы ауданды есептеу.

[a,b] сегментінде үздіксіз y=f(x) функциясы оң болса, онда қисық сызықты трапецияның ауданы (1) формуласымен табылады. Енді [a,b] сегментінде f(x)<0 болсын.(1) формула бойынша (2) болады. (1) және (2) формуланы біріктіріп былай жазуға болады. (3).

Қисық сызықты трапецияны шектеген қисық параметрлік теңдеумен берілген жағдайдағы ауданды есептейік. (4). Мұндағы болсын. Онда аудан формуласымен табылады. Бұл интегралдағы айнымалыны ауыстырайық. (4) формула бойынша болады. Сондықтан .

2. Полярлық координатасымен берілген қисықпен шектелген фигураның ауданын есептеу.

доғасының қисығымен және сол доғаның шеткі нүктелерінің радиус векторларымен шектелген қисық сызықты сектордың ауданын есептеу керек болсын. .

3. Дененің көлемін белгілі көлденең қимасы бойынша есептеу.

Бір денені қарастырайық. Оның Ох осіне перпендикуляр жазықпен қиғандағы қималардың аудандары белгілі болсын дейік. Бұл қималарды көлденең қималар деп атаймыз. Сонда .

Айналу денесінің көлемі.[a,b] сегментінде анықталған y=f(x) қисығы берілсін. аАВв қисық сызықты трапецияның Ох осінен айналуынан шыққан дененің көлемін есептеу керек болсын. Көлденең қималары радиусы айналу қисығының ординатасы у-тің абсолют шамасына тең дөңгелектер болады. Сондықтан қиманың ауданы болады. Сонда айналу денесінің көлемі болады.