2. Интегалдаудың негізгі әдістері.

1. Жіктеу тәсілімен интегралдау.

Негізгі интегралдың табицасын пайдаланып және анықталған интегралдың негізгі қасиеттерін қолданып және сол сияқты интеграл астындағы функцияны жай тепе-тең түрлендіру арқылы интегралдауды тікелей интегралдау деп аталады. Мысалы:

1)

2)

3)

3. Айнымалыны ауыстыру тәсілімен интегралдау.

интегралын есептегенде f(x) функциясының алғашқыфункциясы бар болғанмен, оны тікелей табу қиын болуы мүмкін. Сондықтан интеграл астындағы өрнекте деп айнымалыны ауыстырайық. Мұндағы кері функциясы бар, туындысы үздіксіз болатын үздіксіз функция болсын. Сонда болады. Сонда мынадай теңдік орындалады.

Ескерту. Кей жағдайда айнымалыны деп алмастырудан, деп алмастыру қолайлы болады. Мысалы:

Мысалы:

4. Бөлшектеп интегралдау.

u және v дифференциалданатын функция болсын. Сонда uv көбейтіндісінің дифференциалы мына формуламен табылады. Интегралдасақ, . Бірақ, . Болғандықтан болады. Бұл бөлшектеп интегралдау формуласы деп аталады.

Мысалы.

Кейде бөлшектеп интегралдауды бірнеше рет қолдану керек болады.

Бөлшектеп интегралдау әдісімен есептелетін, жиі кездесетін кейбір интегралдарды қарастырайық.

І. интегралдар. Мұндағы к-кез келген сан. Бұл интегралдарды бөліктеп интегралдау үшін белгілеу керек.

ІІ. интегралдар. Мұндағы P(x) –көпмүшелік. Бұл интегралдарды бөліктеп интегралдау үшін -ке көбейтілген функцияны u деп белгілеу керек.

ІІІ. интегралдар. Мұндағы а және в сандар. Бұл интегралдарды екі рет бөліктеп интегралдау арқылы табылады.

Өзін-өзі бақылауға арналған есептер:

1. интегралын тап.

2. интегралын тап.

3. интегралын тап.

4. интегралын тап.

5. Интегралын тап.

Ұсынылған әдебиеттер:

1. Х.И.Ибрашев, Ш.Т.Еркеғұлов. Математикалық анализ курсы. 1-2 том. А., «Қазақтың мемлекеттік оқу-педагогика баспасы», -1963.

2. Фихтенгольц Г. М. Математикалық анализ негіздері, 2 Том.

3. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. А., «Мектеп», 1987.

РАЦИОНАЛ ФУНКЦИЯЛАРДЫ ИНТЕГРАЛДАУ. ИРРАЦИОНАЛ ФУНКЦИЯЛАРДЫ ИНТЕГРАЛДАУ. ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫ ИНТЕГРАЛДАУ.

Дәріс сабақтың құрылымы:

1. Қарапайым рационал бөлшектер және оларды интегралдау

2. Рационал бөлшектерді қарапайым рационал бөлшектеге жіктеу

3. Рационал бөлшектерді интегралдау

Дәріс сабақтың мазмұны:

1. Қарапайым рационал бөлшектер және оларды интегралдау.

Кез келген рационал бөлшекті төмендегідей төрт түрлі қарапайым рационал бөлшектердің саны шекті болатын қосындысы түрінде жіктеуге болады.

І. ;

ІІ. ;

ІІІ. (бөлімінің түбірлері комплекс сандар, яғни ).

ІV. (бөлімінің түбірлері комплекс сандар, оң бүтін сан).

2. Рационал бөлшектерді қарапайым рационал бөлшектеге жіктеу.

Кез келген дұрыс рационал бөлшекті қарапайым бөлшектердің қосындысы түрінде жіктеуге болатынын көрсетейік. дұрыс рационал бөлшегі берілсін. Бұл бөлшек қарапайм болсын және мұндағы көпмүшеліктердің коэффициенттері нақты сан болсын.

Теорема 1. Егер х=а бөліміндегі көпмүшеліктің к еселі түбірі болсын, яғни болсын. Онда берілген дұрыс бөлшек ті төмендегідей екі дұрыс бөлшектің қосындысы түрінде жіктеуге болады. (*). Мұндағы А-нөлге тең емес тұрақты сан, ал дәрежесі бөлімінің дәрежесінен кіші болатын көпмүшелік.

Салдар. (*) –ші теңдікке кіретін дұрыс рационал бөлшекке алдағыға ұқсас талқылауды қолдануға болады. Сондықтан, егер х=а бөліміндегі көпмүшеліктің к еселі түбірі болса, онда оны былай жіктеп жазуға болады. . Мұндағы - қысқармайтын дұрыс бөлшек. Бұл бөлшекке де алдыңғы теореманы қолдануға болады, егер тің басқа нақты түбірлері болса.

Енді бөліміндегі көпмүшеліктің комплекс түбірлері болғандағы жағдайды қарастырайық. Нақты коэффициентті көпмүшеліктердің комплекс түбірлері қос-қостан түйіндес болатынын еске салайық. Сонда көпмүшеліктің нақты көбейткіштерге жіктегенде көпмүшеліктің әрбір түйіндес комплекс түбіріне түріндегі өрнек сәйкес келеді.егер комплекс түбірінің еселігі болса, оған өрнегі сәйкес келеді.

Теорема 2. Егер болсын, мұндағы көпмүшелігі -ға бөлінбейді, онда дұрыс рационал бөлшек -ті төмендегідей екі дұрыс бөлшектің қосындысы на жіктеуге болады.

. Мұндағы көпмүшелігінің дәрежесі -тің дәрежесінен кем болады.