Еселі интегралда айнымалыны ауыстыру
Айталық
жазықтығында 
облысы, ал
жазықтығында
облысы бар болсын.
Анықтама.
облысындағы
айнымалыларына ауыстыратын
облысындағы
айнымалыла парын
облыста анықталған үзіліссіз
дифференциалданатын
(*)
функцияның пары деп аталады. Және мен -тің барлық ішкі нүктелері арасында өзара бірмәнді сәйкетілік орндалады.
Анықтама.
Якобиан
ауыстыруы (*) деп
-та анықталған
және
функцияларының дербес туындысынан
құралған анықтаушқа тең
функциясын айтады. Яғни
.
Айталық
функциясы айнымалыны ауыстыруды және
облысын
облысына түрлендіруді жүзеге асырсын.
Айталық
облысының бөліктеуі
және
облысының бөліктеуі
болсын,
яғни
,
Енді
интегралдық қосындыны түрлендірейік,
сонда
.
Сонымен интегралдық қосынды
облысында
бөліктеуі бойынша құрылған
болып табылады.
Соңғы
теңдікті 
ұмтылғанда шекке көшіріп келесі теореманы
аламыз.
Теорема.
функция
облысында үзіліссіз және айнымалыны
ауыстыру
облысында анықталған
функциясы арқылы жүзеге асырылса,
-осы
ауыстырудың якобианы болса,
.
Еселі интегралда поляр координатаға көшіру.
Напомним,
что полярными координатами точки
на плоскости
жазықтығындағы
нүктесінің поляр координаттары полярлық
бұрыш
және
полярлық
радиус
болып табылады. Мұнда
айнымалының
мүмкін мәндері
теңсіздігін қанағаттандырады
(немесе
),
ал
.
декарт координаттар
формуласы арқылы
полярлары арқылы өрнектеледі.
Эти
же формулы и определяют замену переменных
для некоторых областей
и
.
С
алдар.
Айталық,
жазықтығындағы
облысқа
полялық координатадағы
облысы сәйкес келсін және
функцмя үзіліссіз, онда
.
Сурет-8
облысы центрі координта басында жататын дөңгелек немесе сақина, немесе осындай дөңгелек немесе сақинаның секторы болған жағдайда поляр координатаға көшкен қолайлы. Өйткені бұл жағдайда облысы жазықтығында тіктөртбұрыш болып табылады. (сурет-9).
Бұл жағдайда еселі интегралдың шектерін қою оңай.
Мысал.
жазықтығы мен
конустың арасында жатқан цилиндрдің
көлемін тап.
Берілген
дене, табаны (
облысы)
центрі координата басында жататын,
радиусы а-ға тең дөңгелек болатын
цилиндроид. Область,
теңсіздігімен анықталатын
тіктөртбұрышқа сәйкес келеді.
Цилиндроид
ожоғары жағынан
функция графигімен шенелген, сондықтан
оның көлемі мынаған тең:
.
Полярлық
коордиатаға көшіп мынаты аламыз
.
Ұсынылған әдебиеттер:
1. Х.И.Ибрашев, Ш.Т.Еркеғұлов. Математикалық анализ курсы. 1-2 том. А., «Қазақтың мемлекеттік оқу-педагогика баспасы», -1963.
2. Фихтенгольц Г. М. Математикалық анализ негіздері, 2 Том.
3. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. А., «Мектеп», 1987.
Екі еселі интегралдың геометриялық қолданылуы
а)
Аудан
есептеу.
Екі еселі интегралда интеграл астындағы
функцияны 1-ге тең деп алсақ, онда біз
жазықтығында
облысының
ауданын аламыз:
.
(1)
Егер
қисықсызықты
трапеция, онда (1) теңдіктен мынаны
аламыз:
.
(2)
Если
облысы
жазықтығындағы
сәулелерімен және
қисығымен шенелген қисықсызықты сектор
болса, онда қисықсызықты сектордың
ауданын мына формула бойынша есептейміз:
.
(3)
б)
Көлем
есептеу.
,
денесінің
көлемі, мұнда
функциясы
облыста үзіліссіз, омына формуламен
анықталады:
(4)
в)
Беттің
ауданын есептеу.
Егер тегіс бет
теңдеуімен берілсе және
жазықтығының
облысына проекцияланса, онда
бетінің ауданын мына формуламен
есептейміз:
(5)
Егер
онда
Егер
онда
