4. Кейбір қарапайым функцияларды дәрежелік қатарына жіктеу.

Ұсынылған әдебиеттер:

1. Х.И.Ибрашев, Ш.Т.Еркеғұлов. Математикалық анализ курсы. 1-2 том. А., «Қазақтың мемлекеттік оқу-педагогика баспасы», -1963.

2. Фихтенгольц Г. М. Математикалық анализ негіздері, 2 Том.

3. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. А., «Мектеп», 1987.

ДӘРІС 23-24. Фурье Қатарлары. Функциялардың ортогональды системалары.

Периодты берілген f(x) функциясын тригонометриялық жіктеідің мүмкін болатындығын тағайыедау үшін, коэффициенттердің нақтылы жиынтығын аламыз. Біз ілгеріде f(x) функциясын аралығында үздіксіз немесе үзінді үздіксіз деп аламыз. (1)

тригонометриялық қатарға жиктеу формуласы

Егер тәуелсіз айнымалы деп алсақ , онда х ке тәуелді функция шығады бұл да периодты функция , ал периоды стандарт . (1) жіктеідің түрі мынау (2)

Бұл қатардың мүшелерін қосындысының үшін формула бойынша ашып және былай деп алсақ тригонометриялық жиктеудің ақырғы формасын шығарып аламыз (3)

Айталық, мына (1) жиктеу орындалсын да және оны ден ге дейін мүшелеп интегралдайық. Мынау шығады

Алайда мынаны байқау онай

және (4)

Сондықтан қосынды ивңбвсының астындағы барлық мүшелер нольдер де және ақырғы табатынымыз

Коэффициент шамасын білу үшін (3) теңдіктің екі жақ бөлігін де ке көбейтіп , мұны біз әрқашан да орындаған деп жоримыз, және тағы да сол аралықта қайтадан интегр алдаймыз

Оң жақтығы бірінші мүше (4) себепті жойылады. Әрі қарай болғанда

(5)

Және ақырында

Осыдан кейін бұл коэффицент анықталады да

және (5)

аралығында анықталғанжәне көбейтіндісіндісінің интегралы нольге тең мен екі функцияны сол аралықта ортогональды деп атайық

аралықта анықталған және онда үздіксіз болатын не кемінде үзінді үздіксіз болатын не кемінде үзінді үздіксіз болатын функциялар системасын қарастырайық Егер берілген системаның функциялары қос қостан ортогональды болса (6)

Онда оны функциялардың ортогональды системасы деп атайды Мұнда біз әрқашан да былай деп жори тын боламыз

Функциялардың ортогональды системасына маңызды мысал ретінде жоғарыда қарастырылған (7)

Системасын келтіруге болады.

Айталық аралығында қандай да бір ортогональды системасы берілген дейік Енді аралығында

Анықталған функциясын мына түрде жиктейік

Бұл жіктелудің коэффициенттерін анықтау ншін , жіктелудің өзін мүмкін дей отырып біз жоғарыда дербес жағдайда орындағаны мыздай істейміз. Атап айтқанда оны мүшелеп интегралдаймыз

Ортогональды болғандықтан

Коэффициенттері осы формуларлар бойынша құралған қатар Фурье қатары деп ал коэффициенттердің өздері оның системасынна қатысты Фурье коэффициенттері деп аталады.

Фукцияларды Фурье қатарға жиктеу. Периодты емес функция жағдайы. Кез келген аралықта Фурье қатарға жиктеу

теорема. Егер периодты функциясы аралығында үзінді дифференциалданатын болса , онда оның Фурье қатары әрбір нүктесінде жинақты болады және қосындысы болады . Бұл қосынды егер функция нүктесінде үздіксіз болса, ке тең болады.

Егер функциясы периодты емес болса№ Омындай функцияға жоғарыда баяндалған теорияны қолдана алатын болу үшін, оның орнына көмекші пен ті тең бе тең аламыз Және периодтылық заңы бойынша қарастырамыз.

Айталық функциясы ұзындығы кез келген болатын аралығында үзінді дифференциалданатын делік. Егер мынадай ауыстыруды пайдалансақ , онда у тің функциясы да аралығында үзінді дифференциалданады да ,енді бұған алдынғы нөмірде қарастырылғанды қолдану мүмкін. Онда Фурье қатарына жіктеуге болады Мұның коэффициенттері мына формуларымен анықталады және

Енді бұрынғы х айнымалыға қайта ораламыз Мұнда аламыз Сонда Мұнда

Тек косинустар бойынша не тек синустар бойынша жиктеу. Фурье интегралы

Теорема. дәрежелік қатарды өзінің жинақталу аралығы ішінде мүшелеп дифференциялдауға болады, яғни мына теңдік орындалады

Енді жалпы түрдегі дәрежелік қатарды қарастырамыз

х – тің теңсіздігінқанағаттандыратын мәндері үшін қатар жинақталады, ал болғанды жинақталмайды дейік. Бұл жағдайда R саны қатарының жинақталу радиусы, ал (x₀-R, x₀+R) интервалы ө жинақталу интервалы деп аталады.

Теорема. Егер f функциясы x=x₀ нүктесі маңайында жинақталу радиусы R санына тең болатын

f(x)=

қатары арқылы берілсе, онда бұл қатардың коэффициенттері

теңдіктері бойынша анықталады. Сондықтан ол қатар былай жазылады

Анықтама. f(x) функциясы x=x₀ нүктесінің кейбір маңайында анықталған болсын және осы нүктеде функцияның барлық ретті туындысы бар дейік. Сонда

қатары f(x) функциясының х₀ нүктесіндегі Тейлор қатары деп аталады. Х₀=0 болғанда Тейлор қатарынан Маклорен қатары деп аталатын

қатарын аламыз. Егер f(x) функциясы х₀ нүктесінің кейбір маңайында дәрежелік қатарға жіктелсе, онда қатар f(x) функциясының Тейлор қатары болып табылады.

Теорема. Егер f(x) функциясының барлық ретті туындылары ( ) интервалында шенделген болса, яғни тұрақты М саны табылып, барлық х ( ) мәндері үшін теңсіздіктері орындалса, онда сол интервалда f(x) функциясы Тейлор қатарына жіктеледі.

Ұсынылған әдебиеттер:

1. Х.И.Ибрашев, Ш.Т.Еркеғұлов. Математикалық анализ курсы. 1-2 том. А., «Қазақтың мемлекеттік оқу-педагогика баспасы», -1963.

2. Фихтенгольц Г. М. Математикалық анализ негіздері, 2 Том.

3. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. А., «Мектеп», 1987.

ДӘРІС 25-26. ЕКІ ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛДАР.

Дәріс сабақтың құрылымы:

1. Қос интегралдар. Еселі интегралдың анықтамасы

2. Еселі интегралдың қасиеттері

3. Қос интегралды екі еселі интеграл көмегімен есептеу.

4. Еселі интегралда айнымалыны ауыстыру

5. Еселі интегралда поляр координатаға көшіру.

Дәріс сабақтың мазмұны:

Қос интегралдар. Еселі интегралдың анықтамасы

Анықтама. D облысы жазықтығында осі бойынша дұрыс деп аталады, егер ол және , мұнда сызықтарымен және кесіндісінде үзіліссіз и , мұндағы функцияларының графиктерімен шенелгенболса. (сурет-1).

Мұндай облысыты арқылы белгілейміз және ол анықталған интегралымен табылады.

Сурет-1 сурет-2

Осыған ұқсас жазықтығындағы , мұндағы түзулерімен және кесіндісінде үзіліссіз және , мұнда функция графиктерімен шектелген облысты осі бойынша дұрыс деп аталады. (сурет-2).

Оның ауданы тең.

облысын элементар ауданшаларға бөлшектейміз. Сонда облысы облыстардың бірігуі түрінде қойылады. , мұнда болғанда және -дің ортақ ішкі нүктелері болмайды. Әрбір ауданшада еркін нүкте таңдаймыз.

Мұндай бөлшектеуді арқылы белгілейміз. Разбиение области облысын бөлшектеуді және координат өстеріне параллель түзулердің көмегімен жүзеге асырған оңай. (сурет-3).

Сурет-3. сурет-4

Анықтама. облыстың диаметрі деп осы облыстағы екі нүктенің арасындағы ең үлкен қашықтықты айтамыз және былай белгілейміз: .

Айталық облысында үздіксіз функция анықталсын.

Анықтама. функция үшін интегралдық қосынды деп, облысында бойынша құралған санын айтады.

болғанда -ның геометриялық мағынасын анықтайық. Әрбір қосылғыш болғанда интегралдық қосынды табаны және биіктігі болатын цилиндрдің көлеміне тең. Сондықтан дегеніміз -осындай цилиндрден құралған сатылы дененің көлеміне сәйкес келеді. (сурет-4).

Сурет-5

Анықтама. облысында бөлшктеуі бойынша құралған функциясының интегралдық қосындысының ең үлкен диаметрі нөлге ұмтылғандағы шегі, облысы бойынша функцияның қос интегралы деп аталады. Ол арқылы белгіленеді. .

Еселі интегралдың қасиеттері

1. функцияның облысы бойынша еселі интегралы осы облыстың ауданына тең

2. Егер және сандар, ал және функциялары да үзіліссіз болса, онда .

3. және функциялары облысында үзіліссіз және болса, онда .

4. Айталық функция облысында үзіліссіз және қайсыбір және сандары үшін орындалса, онда .

5. Теорема о среднем. Айталық функция облысында үзіліссіз болса, онда орындалатын осы облыста нүктесі табылады.

Ол мән облыста функцияның орта мәні деп аталады.

6. Еселі интегралдың модулін бағалау. Егер функция облысында үзіліссіз болса, онда .

7. Егер облысын екі облысқа , (мұндағы және -нің ішкі нүктелері жоқ) бөлшектесек, ал функция облысында үзіліссіз болса, онда

.

Қос интегралды екі еселі интеграл көмегімен есептеу.

Анықтама. облысының , , сызықтарымен шенелген функцияның дұрыс өсі бойынша алынған екі еселі интегралы деп, мына түрдегі анықталған интегралды айтамыз. .

ішкі интегралды есептегенде тұрақты деп аламыз. Гер функция өсінің бойымен дұрыс болса және сызықтарымен шенелсе, онда екі еселі интеграл былай жазылады. .

Теорема. Егер функциясы дұрыс облысында үздіксіз болса, онда қос интеграл осы функцияның

екі еселі интегралына тең. Яғни

.

Мысалы. Айталық облысы және сызықтарымен шенелген болсын. (сурет-6)

Еселі интегралды екі тәсілмен есептейміз.

а) облысы бойынша дұрыс болғандықтан ол , мұндағы сызықтарымен шенелген, сондықтан

Ішкі интегралды -ті тұрақты деп санап Ньютон–Лейбниц формуласымен есептейміз =

= .

в) облысы және , мұнда , сызықтарымен шенелген, онда ол өсі бойынша шенелген болып табылады. Сондықтан

Бұл мысалдағы еселі интеграл - табаны жазықтығындағы облысы болатын, жоғарыдан эллипстік параболойд бөлігімен шенелген цилиндроид болып табылады. (сурет-7).

Сурет-7