Пример 14.3

Как очень тривиальный пример, предположим, что даны a = [17, 25, 46, 94, 201, 400] и s = 272. Таблица 14.1 показывает, как найти кортеж, используя процедуру inv_knapsackSum в алгоритме 14.1.

В этом случае x = [0, 1, 1,0, 1,0], — это означает, что в рюкзаке находятся 25, 46 и 201.

Таблица 14.1. Значения i, a и x в примере 14.3
i	ai	s	s	xi	s s - ai x xi
6	400	272	false	x6=0	272
5	201	272	true	x5=1	71
4	94	71	false	x4=0	71
3	46	71	true	x3=1	25
2	25	25	true	x2=1	0
1	17	0	false	x1=0	0

Секретная связь с использованием ранца

Посмотрим, как Алиса может передать секретное сообщение Бобу, использующему ранцевую криптосистему. Идея показана на рис. 14.4.

Рис. 14.4. Секретная связь с использованием ранцевой криптосистемы

Генерация ключей

Этот процесс:

• Создает суперувеличивающийся k -кортеж b = [b₁, b₂,..., b_k].

• Выбирает модуль n, такой, что n > b ₁ + b₂ + • • • + b_k.

• Выбирает случайное целое число r, которое является взаимно простым с n и .

• Создает временный k -кортеж t = [t₁, t₂,…….. t_k], в котором .

• Выбирает перестановку k -объектов и находит новый кортеж a = liermute(t).

• Открытый ключ k -кортежа — a. Секретный ключ — n, r и k -кортеж b.

Шифрация

Предположим, что Алисе надо послать сообщение Бобу.

• Алиса преобразует свое сообщение в k -кортеж x=[x₁, x₂,…. x_k], в котором x_i — не 0 и не 1. Кортеж представляет собой исходный текст.

• Алиса использует knapsackSum для вычисления s в качестве исходного текста.

Дешифрация

Боб получает зашифрованный текст s.

Боб вычисляет .

Боб переставляет x’ для того, чтобы найти x. Кортеж x есть восстановленный исходный текст.

Пример 14.4

Это тривиальный (очень легко раскрываемый пример). Он приводится только для того, чтобы показать процедуру.

1. Генерация ключей:

   • Боб создает суперувеличивающийся кортеж b = [7, 11, 19, 39, 79, 157, 313].

   • Боб выбирает модуль n = 900 и r = 37, и [4 2 5 3 1 7 6] как таблицу перестановок.

   • Боб теперь вычисляет кортеж t = [259, 407, 703, 543, 223, 409, 781].

   • Боб теперь вычисляет кортеж a = перестановка (t)= [543, 407, 223, 703, 259, 781, 409].

   • Боб объявляет a ; он сохраняет в тайне n, r и b.

2. Предположим, что Алиса хочет передать единственный символ "g" Бобу.

   • Она использует представление ASCII на 7 битов "g", (1100111) ₂ и создает кортеж x = [1,1,0,0, 1, 1, 1]. Это — исходный текст.

   • Алиса вычисляет s = knulisackSum (a, x) = 2399. Это — зашифрованный текст, передаваемый Бобу.

3. Боб может расшифровать зашифрованный текст, s = 2165.

   • a. Боб вычисляет .

   • Боб вычисляет x’ = inv_knalisackSum (s', b) = [1, 1, 0, 1, 0, 1, 1].

   • Боб вычисляет x = перестановка (x’) = [1, 1, 0, 0, 1, 1, 1]. Он интерпретирует строку (1100111) ₂ как символ "g".