Задача 3

Для функции f(x,y,z) = (00010111) построить СФЭ в стандартном базисе сложности l ≤ 5.

Решение: f(x,y,z) = (00010111) = = = = xy = xy yz = xy yz = xy yz xz = xy yz xz.

При эквивалентных преобразованиях использовались свойства поглощения x x A = x и обобщенного склеивания xA B = xA B AB.

S :

Вывод: L(S)=5, L(S) ≤ 3^2³⁺¹ = 48, т.е. 5 < 48.

4. Классы вычислимых и рекурсивных функций. Операции суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации

Пусть Р_выч – класс всех вычислимых (относительно машины Тьюринга) функций; Р_чр – класс всех частично рекурсивных функций (т.е. класс функций, которые могут быть получены из простейших функций с помощью операций суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации).

Исследования показали, что Р_чр эквивалентен Р_выч. Более того, другие формализации понятия вычислимой функции также оказались равносильными. В настоящее время общепринятым является следующее предложение:

Тезис Черча. Р_выч = Р_чр.

Тезис Тьюринга. Всякий алгоритм может быть реализован машиной Тьюринга.

Пусть расширенный натуральный ряд. система, содержащая все константы из и все функции, определённые на наборах чисел из и принимающие значения из , по другому счётнозначная логика.

Определим более широкую, чем , систему функций.

Пусть функция, определённая на подмножестве множества всех наборов чисел из и принимающая значения также из (вне множества функция считается неопределённой). Такого рода функции будем называть частичными функциями счётнозначной логики, а множество всех частичных функций обозначим через . Очевидно, что .

На множестве определим три операции:

1. суперпозиция;

2. Пр ─ примитивная рекурсия;

3. минимизация.

1. Операция вводится так же, что и для булевой алгебры :

Пусть . Возьмём произвольный набор чисел из . Если на этом наборе определены функции и функция определена на наборе , то определена на наборе и ; в противном случае не определена на наборе .

2. Операция Пр определяется так:

Пусть n-местная функция f и (n+2)-местная функция g – произвольные функции из .

Говорят, что (n+1)-местная функция h получается из функций f и g операцией Пр, если для всех , y имеет место:

При этом схема (1) называется схемой примитивной рекурсии для функции h и используется такое обозначение: h = Пр(f,g).

3. Операция определяется следующим образом:

Пусть произвольная функция из .

При этом функцию g определим так:

Пусть произвольный набор целых неотрицательных чисел. Рассмотрим уравнение

1. Если уравнение (2) имеет решение и при всех , таких, что , функция определена и её значения отличны от значения , то полагаем .

2. Если уравнение (2) не имеет решений в целых неотрицательных числах, то считаем не определено.

3. Если наименьшее целое неотрицательное решение уравнения (2) и при некотором и меньшем (y₁ < y₀) значение не определено, то полагаем, что значение не определено.

О функции g , построенной указанным выше способом из функции , говорят, что она получена из функции с помощью операции по переменной . В этом случае используется такое обозначение:

g или g .

Замечание: Операции Пр и можно применять по любым переменным, входящим в функции f, g и h, но всегда нужно указывать, по каким переменным эти операции проводятся.