II. Фонд задач

1. Сколькими способами можно выбрать 3 книжки из 5?

2. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

3. В турнире принимали участие 12 шахматистов, и каждые 2 шахматиста встретились 1 раз. Сколько партий было сыграно в турнире?

4. Сколькими способами можно разместить на полке 4 книги?

5. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?

6. Сколькими способами можно рассадить 4 студентов на 25 местах?

7. Студенту необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами это можно сделать?

8. Матрица A= порядка mn называется (0,1)-матрицей или булевой матрицей, если все a_ij є {0,1} (i=1 ,…, m; j=1 ,…, n). Сколько существует различных булевых матриц порядка m´n?

9. Сколько трехзначных чисел мы можем составить из цифр 3, 4, 5, 6?

10. Сколькими способами можно выбрать 6 одинаковых или разных пирожных в кондитерской, где есть 11 разных сортов пирожных?

11. Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение

х₁+х₂+х₃+ х₄ = 3?

12. Найти число различных слов, которое получим, переставляя буквы слова «математика».

13. Найти число всевозможных словосочетаний, составленных из 12 букв, где 4 буквы а, 4 буквы б, 2 буквы в, 2 буквы г.

14. Каждый студент группы – либо девушка, либо блондин, либо любит дискретную математику (ДМ). В группе 20 девушек, из них 12 блондинок, и одна блондинка любит ДМ. Всего в группе 24 студента-блондина, ДМ из них любят 12, а всего студентов (парней и девушек), которые любят ДМ, – 17, из них 6 девушек. Сколько студентов в данной группе?

15. Из 100 студентов английский язык знают 28 студентов, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из трех языков?

16. В группе 35 студентов. Из них 20 посещают спецкурс (СК) ДГДМ, 11 –СК ДГМЛ. 10 студентов не посещают ни одного из этих СК. Сколько студентов посещают и СК ДГДМ, и СК ДГМЛ? Сколько студентов посещают только СК ДГДМ?

17. На экскурсию поехали семиклассники и восьмиклассники. Все они были либо с комсомольскими значками, либо в пионерских галстуках. Мальчиков было 16, а комсомольцев – 24. Пионерок было ровно столько, сколько мальчиков-комсомольцев. Сколько учащихся было на экскурсии?

18. Найти производящую функцию последовательности, определяемой

функцией f(k)=

19. Найти производящую функцию последовательности, определяемой

функцией f(x)=

20. Доказать тождества:

.

21. Принадлежит ли функция алгебры логики f(x,y) пяти основным замкнутым классам: T₀ , T₁ , L, S, M?

f(x,y)=x .

22. Принадлежит ли функция алгебры логики f(x,y) пяти основным замкнутым классам: T₀ , T₁ , L, S, M?

f(x,y)= .

23. Принадлежит ли функция алгебры логики f(x,y) пяти основным замкнутым классам: T₀ , T₁ , L, S, M?

f(x,y)=

24. Принадлежит ли функция алгебры логики f(x,y) пяти основным замкнутым классам: T₀ , T₁ , L, S, M?

f(x,y)=x→ .

25. Принадлежит ли функция алгебры логики f(x,y) пяти основным замкнутым классам: T₀ , T₁ , L, S, M?

f(x,y)= ↔y.

26. Принадлежит ли функция алгебры логики f(x,y) пяти основным замкнутым классам: T₀ , T₁ , L, S, M?

f(x,y)= y.

27. Принадлежит ли функция алгебры логики f(x,y) пяти основным замкнутым классам: T₀ , T₁ , L, S, M?

f(x,y)=x .

27. Принадлежит ли функция алгебры логики f(x,y) пяти основным замкнутым классам: T₀ , T₁ , L, S, M?

f(x,y)=x .

29. Принадлежит ли функция алгебры логики f(x,y) пяти основным замкнутым классам: T₀ , T₁ , L, S, M?

f(x,y)=x ↔ .

30. Принадлежит ли функция алгебры логики f(x,y) пяти основным замкнутым классам: T₀ , T₁ , L, S, M?

f(x,y)=  y.

31. Представить в СДНФ и СКНФ следующую функцию алгебры логики:

f(x,y,z)=(x→y) ( ↔z).

32. Представить в СДНФ и СКНФ следующую функцию алгебры логики:

f(x,y,z)=( x ) (x→z).

33. Представить в СДНФ и СКНФ следующую функцию алгебры логики:

f(x,y,z)=( )↔( z).

34. Представить в СДНФ и СКНФ следующую функцию алгебры логики:

f(x,y,z)=( ↔ y) → (xÚ ).

35. Представить в СДНФ и СКНФ следующую функцию алгебры логики:

f(x,y,z)=(x↔y)Ú (x →).

36. Представить в СДНФ и СКНФ следующую функцию алгебры логики:

f(x,y,z)=( )↔( xÚ).

37. Представить в СДНФ и СКНФ следующую функцию алгебры логики:

f(x,y,z)=(x↔y) → (  z).

38. Представить в СДНФ и СКНФ следующую функцию алгебры логики:

f(x,y,z)=( →y) ↔ (  z).

39. Представить в СДНФ и СКНФ следующую функцию алгебры логики:

f(x,y,z)=( ) → (x→z).

40. Представить в СДНФ и СКНФ следующую функцию алгебры логики:

f(x,y,z)=( x ↔ ) (xÚ).

41. Выясните, полна ли система функций .

42. Выясните, полна ли система функций .

43. Выясните, полна ли система функций { }.

44. Выясните, полна ли система функций { }.

45. Выясните, полна ли система функций { }.

46. Выясните, полна ли система функций { }.

47. Выясните, полна ли система функций { }.

48. Выясните, полна ли система функций { }.

49. Выясните, полна ли система функций { }.

50. Выясните, полна ли система функций { }.

51. Построить полином Жегалкина для функции

52. Построить полином Жегалкина для функции Как называется функция ?

53. Построить полином Жегалкина для функции

54. Реализовать булеву функцию СФЭ в стандартном базисе, предварительно упростив выражение для , сложности .

55. Реализовать булеву функцию СФЭ в стандартном базисе, предварительно упростив выражение для , сложности .

56. Для функции построить СФЭ в стандартном базисе сложности .

57. Для функции построить СФЭ в стандартном базисе сложности .

58. Применить операцию минимизации к функции . Результирующую функцию представить в аналитической форме.

59. Применить операцию минимизации к функции . Результирующую функцию представить в аналитической форме.

60. Применяя операцию примитивной рекурсии к функциям , по переменной , построить функцию Функцию записать в аналитической форме.

61. Применяя операцию примитивной рекурсии к функциям , по переменной y, построить функцию Функцию записать в аналитической форме.

62. Является ли код с кодирующим алфавитом {0,1,2} однозначно декодируемым? Найти неоднозначно декодируемое слово.

= {01, 201, 112, 122, 0112, 011}.

63. Является ли код с кодирующим алфавитом {0,1,2} однозначно декодируемым? Найти неоднозначно декодируемое слово.

= {01, 12, 012, 111, 0102, 10112, 01112}.

64. Построить по методу Хэмминга кодовое слово для сообщения =1100.

65. По каналу связи передавалось кодовое слово , построенное по методу Хэмминга для сообщения . После передачи по каналу связи, искажающему слово не более чем в одном разряде, было получено слово =0101100. Восстановить исходное сообщение .

66. Доказать примитивную рекурсивность функции f(x)=x².

67. Доказать частичную рекурсивность функции f(x₁, x₂)= .

68. Для префиксного кода С с заданным набором вероятностей P построить дерево D(C,P,q), соответствующее коду. Выяснить, является ли код С оптимальным: C={0, 10, 11, 12, 20, 22}, P={ , , , , , }.

69. Построить оптимальный (P,3)-код для P={0,4; 0,2; 0,1; 0,1; 0,1; 0,1}.

70. С помощью процедуры Хаффмана построить двоичный код с минимальной избыточностью для набора вероятностей P={0,2; 0,2; 0,2; 0,2; 0,2}.

71. С помощью процедуры Хаффмана построить двоичный код с минимальной избыточностью для набора вероятностей P={0,7; 0,1; 0,1; 0,1} .

72. Найти число графов без петель и кратных ребер с р вершинами.

73. Найти число (p,q) – графов без петель и кратных ребер.

74. Найти число (p,q) – графов без петель, но с кратными ребрами.

75. Изобразить все попарно неизоморфные 4-вершинные графы без петель и кратных ребер.

76. Сколько существует попарно неизоморфных 6-вершинных графов без петель и кратных ребер?

77. Среди пар графов, изображенных на рис. 1-5, указать пары изоморфных и пары неизоморфных графов. Ответ обосновать.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

72. Выяснить, существует ли в графах, изображенных на рис. 6, подграфы, гомеоморфные графу G:

1) G=K₄ (рис. 7, а);

2) G=K₅ (рис. 7, б);

3) G=K_2,3 (рис. 7, в).

а) б) в)

Рис. 6

а) б) в)

Рис. 7

72. Каждый граф, изображенный на рис. 1-7, задать через таблицы смежности и инцидентности, полностью охарактеризовать (полный, связный, плоский, планарный).

73. Построить коды плоских корневых деревьев, изображенных на рис. 8.

Рис. 8

72. Построить плоское корневое дерево по его коду :

1. = 0101001011;

2. = 00010010111011;

3. = 0000101110010111;

4. = 0000110100101111;

5. = 0010110100010111.

82. По вектору установить, является ли он кодом какого-либо плоского дерева:

1. = 001011;

2. = 0110;

3. = 001001;

4. = 010011;

5. = 00111001;

6. =0001100111.

83. Выяснить, является ли функция f: A*→A*, которая осуществляет это отображение по следующему правилу: x = x(1)…x(k) → y = y(1)…y(k), при этом y(t) = x(t), где 1≤ t ≤ k, детерминированной функцией (или д. функцией)?

84. Выяснить, является ли функция f: A*→A* д. функцией:

1) y(t) = (t), 1≤ t ≤ k;

2) y(1) = x(1)

y(2) = x(1)&x(2)

…

y(t) = x(1)&x(2)&…&x(t) для t: 1≤ t ≤ k

3) y(t) = x(t+1), 1≤ t ≤ k-1, y(k) = x(1).

83. Выяснить, является ли функция f: A*→A* о.-д. функцией, и найти её вес:

1)

2)

3)

4)

5) , где 1 , .

86. Выяснить, какая из функций из задачи 84 является о.-д. функцией, и найти её вес.

87. О.-д. функции из задач 85 и 86 представить в виде усечённого дерева.

88. О.-д. функции из задач 85 и 86 представить в виде диаграммы Мура.

89. О.-д. функции из задач 85 и 86 представить в виде таблицы.

90. О.-д. функции из задач 85 и 86 представить в виде канонических уравнений.

91. Какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие – нет? Если предложение – высказывание, то оно истинно или ложно?

1. Волга – река.

2. Дискретная математика – интересный предмет.

3. Ульяновск – областной центр.

4. Чай – вкусный напиток.

5. 2 + 2 = 5.

6. Железо тяжелее алюминия?

7. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

8. Студент Хулиганов, быстро к доске!

92. Определите, будет ли данный набор символов формулой:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

93. Выпишите всевозможные подформулы следующих формул и определите ранг формулы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

94. В формулах из задач 92 и 93 опустите скобки согласно приоритету логических связок.

95. Показать выводимость следующих формул:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

96. Показать выводимость формул из множества гипотез:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) .

97. Докажите, используя теорему о дедукции, что верны следующие выводимости:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

98. Какая из формул из задач 92, 93, 95 является тавтологией?

99. Какая из формул из задач 92, 93 является противоречием?

100. Какая из формул из задач 92, 93 является выполнимой или опровержимой?