Работа №8. Задачи упорядочевания (алгоритм джонса)
Задачи упорядочения в общем случае представляют собой задачи выбора порядка обслуживания, оптимизирующего какой-либо существенный показатель качества функционирования системы. К задачам упорядочения относятся, например, задачи выбора дисциплины обслуживания в системе массового обслуживания, задачи составления оптимальных расписаний и т.д.
В качестве примера простейшей задачи упорядочения рассмотрим так называемую задачу Беллмана-Джонсона n×2.
Пусть на двух станках (А и В) необходимо обработать n разных деталей с номерами. Пусть даны нормы времени aiи biобработки детали i на станкахА и В соответственно и пусть задано, что маршрут обработки для всех деталей жесткий: c начало деталь обрабатывается на станке А, затем на станке В. При этом:
1) для каждой детали обработка на станкеВ может начинаться не раньше, чем окончится ее обработка на станке А;
2) на каждом станке одновременно может обрабатываться не более одной детали;
3) начавшаяся операция не прерывается до полного ее завершения.
Пусть конкретные значения величин aiи biдля случая n = 5 следующие (табл.8.1).
Будем запускать детали в производство в порядке их номеров и определим при помощи линейных диаграмм (графика Ганта) общее время Т полной обработки всех деталей (рис.8.1).
Таблица 8.1
i |
ai |
bi |
1 |
4 |
1 |
2 |
30 |
4 |
3 |
6 |
30 |
4 |
4 |
5 |
5 |
2 |
3 |
Рис.8.1 График Ганта обработки пяти деталей на двух станках
Как видно из графика, пока станок A будет обрабатывать первую деталь, станок B будет простаивать, причем величина простоя x1 = a1 = 4 . Так как a1 + a2>x1 + b1, то и во время обработки второй детали на станке Астанок В не будет загружен полностью. Время простоя x2 = a1 + a2 – x1 – b1 = 4 + 30 - 4 – 1 = 29. Так как a1 + а2 + а3>x1 + b1 + x2 + b2, то будет иметь место еще один простой станка В, причем x3 = a1 +a2 +a3 – x1 – b1 – x2 – b2 = 4 + 30 + 6 - 4 – 1 – 29 – 4 = 2. Так как a1 + а2 + а3 + а4<x1 + b1 + x2 + b2 + x3 + b3, то очередного возможного простоя станка В не будет, т.е. x4 = 0. Аналогично получаем, что и x5 = 0. Тогда общее время простоев станка В будет равно X = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 4 + 29 + 2 + 0 + 0 = 35, а общее время полной обработки всех деталей T = TB + X = b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + X = 1 + 4 + 30 + 5 + 3 + 35 = 43 + 35 + = 78.
Нетрудно заметить, что величина простоев X (и, следовательно, общее время Т) будет зависеть от последовательности, в которой детали обрабатываются. Например, если мы вместо последовательности 1-2-3-4-5 воспользуемся обратной последовательностью 5-4-3-2-1, то получим x1 = 2, x2 = 1, x3 = 1, x4 = x5 = 0, откуда будет следовать, что X = 4 и T = 43 + 4 = 47. Как видим, получили существенный выигрыш: величина простоев станка В уменьшилась чуть ли не в 9 раз, а общее время обработки чуть ли не на 40 %.