Работа №6. Планирование рабочей силы

Число рабочих, необходимых для выполнения какого-либо проекта, регулируется путем их найма и увольнения. Поскольку как наем, так и увольнение рабочих связано с дополнительными затратами, необходимо определить, как должна регулироваться численность рабочих в период реализации проекта.

Предположим, что проект будет выполняться в течение n недель и минимальная потребность в рабочей силе на протяжении i-й недели составит b_i рабочих. При идеальных условиях хотелось бы на протяжении i-й недели иметь в точности b_i рабочих. Однако в зависимости от стоимостных показателей может быть более выгодным отклонение численности рабочей силы как в одну, так и в другую сторону от минимальных потребностей. Если x_i – количество работающих на протяжении i-й недели, то возможны затраты двух видов:

C₁(x_i – b_i) – затраты, связанные с необходимостью содержать избыток x_i – b_i рабочей силы

C₂(x_i – x_i-1) – затраты, связанные с необходимостью дополнительного найма x_i – x_i-1 рабочих.

Элементы модели динамического программирования определяются следующим образом.

Этап i представляется порядковым номером недели i, i = 1,2,..., n.

Вариантами решения на i-м этапе являются значения x_i – количество работающих на протяжении i-й недели.

Состоянием на i-м этапе является x_i-1 – количество работающих на протяжении (i – 1)-й недели (этапа).

Рекуррентное уравнение динамического программирования представляется в виде

,i = 1, 2, …, n,

где f_n+1(x_n)  0

Вычисления начинаются с этапа n при х_n = b_n и заканчиваются на этапе 1.

Пример 1. Для реализации проекта строительный подрядчик определил минимальные потребности в рабочей силе на ближайшие пять недель следующим образом: 5, 7, 8, 4 и 6 рабочих соответственно. Содержание избытка рабочей силы обходится подрядчику в 300 долларов за одного рабочего в неделю, а наем рабочей силы на протяжении одной недели обходится в 400 долларов (независимо от количества принимаемых на работу человек) плюс 200 долларов за обучение одного нового рабочего в неделю.Необходимо определить, каким образом должна регулироваться численность рабочих в период реализации проекта. Задачу решить методом динамического программирования.

Решение. Выражая затраты в сотнях долларов, имеем:

b₁=5, b₂=7, b₃=8, b₄=4, b₅=6,

C₁(x_i-b_i)=3(x_i-b_i), x_i>b_i, i=1, 2, 3, 4, 5,

C₂(x_i-x_i-1)=4+2(x_i-x_i-1), x_i>x_i-1, , i=1, 2, 3, 4, 5.

Решение задачи начинаем с последнего (5-го этапа). По условию на этом этапе должно работать 6 работников. На предыдущем этапе в штате могло быть 4 (необходимый минимум), 5 или 6 работников (с учетом численности на 5-ом этапе).

Этап 5. (b₅=6)

Табл.6.1

x4	С1(х5-6)+С2(х5-х4)	Опт.решение
	х5 = 6	f5(x4)	x5*
4	3(0)+4+2(2)=8	8	6
5	3(0)+4+2(1)=6	6	6
6	3(0)+0=0	0	6

На четвертом этапе должно работать 4 работника, однако, учитывая, что на следующем этапе потребуется 6 исполнителей, в штате может быть 4, 5 или 6 человек. Поэтому в таблице 6.1х₄ = 4, 5, 6.

Этап 4. (b₄=4) Табл.6.2

x3	С1(х4-4)+С2(х4-х3)+ f5(x4)			Опт.решение
	х4 = 4	х4 = 5	х4 = 6		f4(x3)	x4*
8	3(0)+0+8=8	3(1)+0+6=9	3(2)+0+0=6		6	6

На третьем этапе должно работать максимальное число (8) работников. Поэтому в таблице 6.2х₃ = 8.

Этап 3. (b₃=8)

Табл.6.3

x2	С1(х3-8)+С2(х3-х2)+ f4(x3)	Опт.решение
	х3 = 8	f3(x2)	x3*
7	3(0)+4+2(1)+6=12	12	8
8	3(0)+0+6=6	6	8

На втором этапе в штате может быть 7 исполнителей (необходимый минимум) или 8 исполнителей (с учетом потребностей следующего этапа). Поэтому в таблице 6.3х₂ = 7, 8.

Этап 2. (b₂=7)

Табл.6.4

x1	С1(х2-7)+С2(х2-х1)+ f3(x2)		Опт.решение
	х2 = 7	х2 = 8	f2(x1)	x2*
5	3(0)+4+2(2)+12=20	3(1)+4+2(3)+6=19	19	8
6	3(0)+4+2(1)+12=18	3(1)+4+2(2)+6=17	17	8
7	3(0)+0+12=12	3(1)+4+2(1)+6=15	12	7
8	3(0)+0+12=12	3(1)+0+6=9	9	8

На первом этапе, соответствующем началу выполнения проекта, в штат может быть зачислено от 5 до 8 исполнителей.

Поиск оптимального решения начинаем с табл. 6.5, из которой следует, что перед началом работ необходимо нанять 5 рабочих (последний столбец табл. 6.5). Далее в табл. 6.4 в первом столбце находим строку, соответствующую 5-ти рабочим на первом этапе. В последнем столбце табл. 6.4 этой строки х₂ = 8. Следовательно, на втором этапе в штате должно быть 8 рабочих, поэтому дополнительно принимается 3 рабочих. Переходим к табл. 6.3. В строке этой таблицы, соответствующей 8-ми рабочим имеем х₃ = 8. Отсюда следует, что на третьем этапе численность рабочих в штате остается неизменной. Переходим к табл. 6.2, из которой следует, что х₄ = 6. Поэтому двое рабочих получают расчет. И наконец, из табл.6.1 находим х₅ = 6.

Этап 1. (b₁=5)

Табл.6.5

x0	С1(х1-5)+С2(х1-х0)+ f2(x1)					Оптимальное решение
	х1 = 5	х1 = 6	х1 = 7	х1 = 8	f1(x0)		x1*
0	3(0)+4+ +2(5)+ +19=33	3(1)+4+ +2(6)+ +17=36	3(2)+4+ +2(7)+ +12=36	3(3)+4+ +2(8)+ +9=38	33		5

Процесс нахождения оптимального решения можно представить следующей схемой:

Полученному решению соответствует следующий план.

Табл.6.6

Неделя	Требуется рабочих	Фактически рабочих	Решение
1	5	5	Нанять 5 рабочих
2	7	8	Нанять 3 рабочих
3	8	8	Ничего не менять
4	4	6	Уволить 2 рабочих
5	6	6	Ничего не менять

Чтобы решить задачу планирования рабочей силы методом динамического программирования в Excel необходимо создать макрос, позволяющий автоматизировать вычисления на каждом этапе. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

Открыть рабочий лист Excel и ввести исходные данные в соответствии с таблицей 6.7.

Табл.6.7

Диапазон	Исходные данные
B2:F2	Номер недели
B3:F3	Необходимое кол-во рабочих
A2	Стоимость найма рабочих
A3	Стоимость обучения одного рабочего
A4	Стоимость содержания одного лишнего рабочего
А5:А9	Возможное число рабочих
B11:F11	Номер недели
А12:А16	Возможное число рабочих

В диапазон ячеек B4:F4 ввести максимально возможное число рабочих. Поскольку на третьей неделе потребуется 5 человек допустимо принять их в начале первой недели и сохранять до конца третьей недели. На 4-й и 5-й неделе в штате может быть шесть человек. Исходя из этих соображений, заполнить диапазон ячеек B4:F4. В результате рабочий лист будет иметь вид, показанный на рис.6.1.

	A	B	C	D	E	F	G
1
2	4	1	2	3	4	5
3	2	5	7	8	4	6
4	3	8	8	8	6	6
5	4
6	5
7	6
8	7
9	8
10
11		1	2	3	4	5
12	4
13	5
14	6
15	7
16	8

Рис. 6.1 Рабочий лист Excel с исходными данными задачи о планировании рабочей силы

Поместить мышь в ячейку A2, нажать правую кнопку и, не отпуская ее, перетянуть в ячейку F16, выделив таким образом диапазон ячеек A2:F16 (на рис.6.1 обозначен пунктиром)

Выбрать команду Вставка Þ ИмяÞ Присвоить. Появится диалоговое окно Присвоение имени. Ввести имя диапазона (напримерRS) в поле Имя.

Щелкнуть на кнопке ОК, чтобы выйти из диалогового окна. Теперь диапазону присвоено имя для ссылок.

Выбрать команду Сервис Þ Макрос Þ Макросы. Появится диалоговое окно Макрос. Ввести имя макроса (например Rabota) в поле Имя макроса и щелкнуть на кнопкеСоздать. Появится отдельное программное окно VisualBasic.

Между появившимися в окне строками SubRabota () и EndSub ввести текст процедуры (рис.6.2)

Sub Rabota()

Dim Z As Range

Set Z = Range("RS")

n = Z.Columns.Count: m = (Z.Rows.Count - 5) \ 2

c1 = Z.Cells(1, 1): c2 = Z.Cells(2, 1): c3 = Z.Cells(3, 1)

For k = n To 2 Step -1

b = Z.Cells(2, k): ii = 0: ik = 0

If k > 2 Then

ii = Z.Cells(2, k - 1): ik = Z.Cells(3, k - 1)

End If

jj = Z.Cells(2, k): jk = Z.Cells(3, k)

For i = ii Toik

mins = 9999: Sum = 0

For j = jj To jk

If k < n Then Sum = Z.Cells(j, k + 1)

If j > b Then Sum = Sum + c3 * (j - b)

If j >i Then Sum = Sum + c1 + c2 * (j - i)

If mins > Sum Then

mins = Sum: jmin = j

End If

Next j

If k = 2 Then i = jmin

Z.Cells(i + m + 2, k) = jmin

Z.Cells(i, k) = mins

Next i

Nextk

EndSub

Рис.6.2 Процедура определения оптимальной стратегии в задаче управления трудовыми ресурсами

Вернуться на рабочий лист Excel и выполнить команду Сервис Þ Макрос Þ Макросы. Появится диалоговое окно Макрос. Убедится, что в поле Имя макроса название вашей процедуры Pributok и щелкнуть на кнопкеВыполнить. Исходные данные будут дополнены результатами решения (рис. 3).

	A	B	C	D	E	F	G
1
2	4	1	2	3	4	5
3	2	5	7	8	4	6
4	3	8	8	8	6	6
5	4					8
6	5	33	19			6
7	6		17			0
8	7		12	12
9	8		9	6	6
10
11		1	2	5	4	5
12	4					6
13	5	5	8			6
14	6		8			6
15	7		7	8
16	8		8	8	6
17

Рис.6.3Результаты решения задачи управления трудовыми ресурсами

Диапазон ячеек B5:F8 содержит значения f_i(x_i-1), соответствующие значениям этих величин в таблицах 6.1 – 6.5. Диапазон ячеек B12:F16 содержит значения х_i^*, соответствующие значениям этих величин в таблицах 6.1 – 6.5.

Задание. Необходимо определить оптимальный план найма рабочей силы согласно вариантам, представленным в табл.6.8.

Таблица 6.8

№ Варианта	Количество рабочих на недели
	1	2	3	4	5
1	8	10	16	10	8
2	20	16	12	20	22
3	4	9	6	6	8
4	12	16	12	16	9
5	10	5	8	10	7
6	15	14	18	12	16
7	35	30	37	32	33
8	22	22	28	26	25
9	32	28	34	30	30
10	8	10	12	8	13
11	15	16	13	11	18
12	21	18	21	16	20
13	3	7	5	9	8
14	12	11	15	10	13
15	18	14	12	15	13