Формула для вычисления дисперсии

Вычисление дисперсии, безразлично – генеральной или выборочной, можно упростить посредством использования формулы:

то есть, дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней.

Пример:

Найти дисперсию по данному распределению:

xi	1	2	3	4
ni	20	15	10	5

Решение:

Найдем общую среднюю:

= (20*1+15*2+10*3+5*4)/(20+15+10+5)=100/50=2.

Найдем среднюю квадратов значений признака:

=(20*1²+15*2²+10*3²+5*4²)/50=5.

Искомая дисперсия:

=5-2²=1.

Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсия

Если все значения количественного признака X совокупности, безразлично – генеральной или выборочной, разбиты на k групп, то рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти групповую среднюю и дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.

Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней:

где: n_i – частота значения x_i;

j – номер группы;

- групповая средняя группы j;

- объем группы j.

Пример:

Найти групповые дисперсии совокупности, состоящей из следующих двух групп:

	Группа 1			Группа 2
Значение признака (xi)	2	4	5	3	8
Частота (ni)	1	7	2	2	3
Объем (∑ni)	N1=10			N2=5

Решение:

Найдем групповые средние:

= (1*2+7*4+2*5)/10 =4;

= (2*3+3*8)/5 =6.

Найдем искомые групповые дисперсии:

= (1*(2-4)²+7*(4-4)²+2*(5-4)²)/10 = 0,6;

= (2*(3-6)²+3*(8-6)²)/5 = 6.

Зная дисперсию каждой группы, можно найти их среднюю арифметическую.

Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую дисперсий, взвешенную по объемам групп:

где: N_j – объем группы j;

- объем всей совокупности.

Пример:

Найти внутригрупповую дисперсию по следующим исходным данным:

	Группа 1			Группа 2
Значение признака (xi)	2	4	5	3	8
Частота (ni)	1	7	2	2	3
Объем (∑ni)	N1=10			N2=5

Решение:

Искомая внутригрупповая дисперсия равна:

= (10*0,6+5*6)/15=12/5.

Зная групповые средние и общую среднюю, можно найти дисперсию групповых средних относительно общей средней.

Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общей средней:

где: - групповая средняя группы j;

N_j – объем группы j;

- общая средняя;

- объем всей совокупности.

Пример:

Найти межгрупповую среднюю по данным предыдущего примера.

	Группа 1			Группа 2
Значение признака (xi)	2	4	5	3	8
Частота (ni)	1	7	2	2	3
Объем (∑ni)	N1=10			N2=5

Решение:

Найдем общую среднюю:

= (1*2+7*4+2*5+2*3+3*8)/15 = 14/3.

Используя вычисленные выше величины = 4, = 6, найдем искомую межгрупповую дисперсию:

= (10*(4-14/3)² +5*(6-14/3)²) /15 = 8/9.

Для всей совокупности выделяют общую дисперсию.

Общей дисперсией называют дисперсию значений признака всей совокупности относительно общей средней:

где: n_i – частота значения x_i;

- общая средняя;

n – объем всей совокупности.

Пример:

Найти общую дисперсию по данным предыдущей задачи, то есть:

	Группа 1			Группа 2
Значение признака (xi)	2	4	5	3	8
Частота (ni)	1	7	2	2	3
Объем (∑ni)	N1=10			N2=5

Решение:

Найдем искомую общую дисперсию, учитывая, что общая средняя равна 14/3.

D_общ = (1*(2-14/3)²+7*(4-14/3)²+2*(5-14/3)²)/15+(2*(3-14/3)²+3*(8-14/3)²)/15 = 148/45.

Найденная общая дисперсия равна сумме групповой и межгрупповой дисперсий:

D_общ = 148/45;

D_внгр + D_межгр = 12/5 + 8/9 = 148/45.

Эта закономерность справедлива для любой совокупности.

Точечные и интервальные оценки вариационного ряда

Пусть в качестве изучаемого признака (X) совокупности лиц, осужденных за тяжкие телесные повреждения, взят возраст.

Анализ возрастных способностей названной группы применительно к 55 осужденным дал следующие результаты:

16, 22, 20, 19, 18, 24, 21, 17, 23, 18,

19, 16, 22, 18, 23, 20, 19, 22, 20, 19,

20, 18, 21, 18, 19, 24, 17, 16, 23, 19,

25, 21, 20, 18, 19, 22, 20, 18, 17, 21,

19, 20, 23, 25, 22, 20, 17, 24, 19, 17,

21, 18, 19, 21, 26

На основе полученного статистического наблюдения может быть составлен следующий вариационный ряд (таблица 1):

Таблица 1.

Возраст в годах , xi	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
Число осужденных, ni	3	5	8	10	8	6	5	4	3	2	1

Объем выборки n = 55.

Изменение (вариация) признака может быть:

- дискретной;

- непрерывной.

При дискретной вариации значения признака отличаются друг от друга на некоторое (обычно целое) число, например:

- число судимостей;

- число сообщений о происшествиях, поступивших в дежурную часть;

- число эпизодов в уголовном деле и др.

При непрерывной вариации значения признака могут отличаться на сколь угодно малую величину, например:

- время достижения патрульной группой места происшествия;

- процент выполнения нормы выработки на предприятиях исправительно-трудовых учреждений (ИТУ) и др.

При непрерывной (а часто и при дискретной) вариации разделение признака называется интервальным, то есть частоты относятся не к отдельному значению признака, а к некоторому интервалу, например, вариационный ряд распределения работающих в ИТУ по норме выработки (таблица 2):

Таблица 2.

Выполнение норм выработки в ИТУ (интервалы), %	65-70	70-75	75-80	80-85	85-90	90-95	95-100	100-105	105-110	110-115
Число работающих, ni	68	81	95	120	88	77	64	45	33	25

Объем выборки n = 696.

Вариационные ряды могут быть и с одинаковыми и неодинаковыми интервалами.

От выбора интервала во многом зависят результата последующего анализа:

- при чрезмерно зауженном интервале начинает значительно сказываться случайность наблюдений, различные «шумовые» эффекты;

- при неоправданном расширении интервала нивелируются важные особенности наблюдаемого социально-правового явления.

От этих неприятных последствий уходят путем выбора интервала по формуле:

(1)

где: x_max - x_min – размах вариации, характеризующий разность между наибольшей и наименьшей вариантами;

n – объем выборки.

Для данных таблицы 1 получаем величину интервала k = 1,3; а для данных таблицы 2 k = 3,8.

Полученные значения близки к выбранным, то есть к интервалам 1 и 5 соответственно.

Характеристики вариационного ряда

Характеристиками вариационного ряда являются:

- среднее арифметическое;

- среднее геометрическое;

- средняя квадратичная;

- средняя логарифмическая и др. средние;

- медиана;

- мода.

Среднее арифметическое вычисляется с использованием формулы:

(2)

В частности, для данных таблицы 1 средний возраст осужденных за тяжкие телесные повреждения (среднее арифметическое) равно:

=(1/55)*(16*3+17*5+18*8+19*10+20*8+21*6+22*5+23*4+24*3+25*2+26*1)=20,05 (года), для данных таблицы 2 средняя норма выработки (среднее арифметическое) равна 85,9%.

Среднее геометрическое вычисляется с использованием формулы:

(3)

Среднее геометрическое применяется главным образом для изучения динамики социально-правовых явлений.

В случае, когда вариационный ряд является интервальным, для расчета показателей средних арифметического и геометрического применяются значения вариант, относящиеся к середине соответствующих интервалов.

Медиана (Ме) – это такое значение варианты, которое приходится на середину вариационного ряда.

В случае, если число членов ряда нечетное, Ме = а +1, где а – целая часть от деления пополам количества вариант вариационного ряда. Таким образом для ряда в таблице 1 Ме = а + 1 = 11/2 + 1 = 5 +1 = 6, то есть Ме = 21 (см. таблицу 1).

В случае, если вычисляется медиана интервального вариационного ряда, используется следующая приближенная формула:

Ме = Х₁^н +К₁^м (n/2 –T_i-1)/n_i, (4)

где: Х₁^н – значение начала медианного варианта;

К₁^м – длина медианного интервала;

n/2 – полуобъем выборки в процентах;

T_i-1 – сумма частот интервалов, предшествующих медианному (определяется по первой накопленной частоте, превышающей половину всего объема вариационного ряда, то есть более 50%);

n_i – частота медианного интервала.

Для вариационного ряда, представленного в таблице 2, значение медианы в соответствии с этой формулой, будет:

Ме = 80+5(50 – 35,1)/17,2 = 84,3.

Медиана обладает замечательным свойством – сумма абсолютных величин отклонений вариантов от нее меньше, в том числе и от средней арифметической.

На практике это свойство может быть применено, например, при:

- проектировании маршрутов патрульных групп;

- выборе места для пункта управления подразделениями ГИБДД на протяженных участках дороги и др.

Мода (Мо) – значение варианты, имеющей максимальную частоту в вариационном ряду.

В таблице 1 максимальная частота (максимальное количество осужденных за тяжкие телесные повреждения) – 19 (лет).

Модальное значение интервального ряда вычисляется с использованием формулы:

Мо = Х₁^н +(К₁^м / (1 + ((n_i - n_i+1) / (n_i - n_i-1))), (5)

где: Х₁^н – значение начала медианного варианта;

К₁^м – длина модального интервала;

n_i – частота модального интервала;

n_i-1 и n_i+1 – соответственно частоты предшествующего и последующего интервалов по отношению к модальному.

Для вариационного ряда, характеризующего распределение работающих в ИТУ по норме выработки (таблица 2) это следующие значения:

Х₁^н = 80;

К₁^м = 5;

n_i = 120;

n_i-1 = 95;

n_i+1 = 88.

Мода интервального ряда, представленного в таблице 2, равна 82,2. Это и есть оценка значения нормы выработки, которую выполняет наибольшая группа осужденных.

Сравнивая значения средней арифметической, моды и медианы, можно определить, каким является вариационный ряд:

- симметричным или асимметричным (скошенным).

Если ряд умеренно отличается от симметричного, то должно выполняться соотношение:

. (6)

Так, для вариационного ряда, характеризующего распределение работающих в ИТУ по норме выработки (таблица 2), получается значение, равное 2,3. Это приводит к выводу о незначительном отличии ряда от симметричного.

Характерно, что для таких рядов медиана расположена между модой и средней арифметической.

Рассмотренные числовые характеристики вариационного ряда, и, в частности, параметры, характеризующие средние величины и максимум ряда, не учитывают вариации признака различных социально-правовых процессов.

Измерение вариации признака

Для измерения вариации признака применяют такие показатели, как:

- вариационный размах;

- дисперсии;

- среднее квадратическое отклонение;

- относительный коэффициент вариации.

Вариационный размах (R) (широта распределения) – это показатель, характеризующий разность между крайними значениями вариационного ряда:

R = x_max – x_min , (7)

где x_max и x_min – варианты вариационного ряда.

Например, вариационный размах для ряда, характеризующего число осужденных за тяжкие телесные повреждения (таблица 1) составляет R = 26 -16 = 10 лет.

Но, несмотря на простоту рассматриваемого критерия вариации признака (R), при практическом использовании он чрезвычайно зависит от случайностей, весьма неустойчив и поэтому может служить лишь для грубой оценки колеблемости вариационного ряда.

Более надежным и наиболее часто применяемым на практике , хотя и более сложным для вычисления, являются показатели дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Дисперсия вычисляется по формуле:

(8)

Например, дисперсия показателя возраста осужденных за тяжкие телесные повреждения (вариационный ряд в таблице 1) равна 6,02.

Среднее квадратическое отклонение (σ) является производным от дисперсии. Рассчитывается среднее квадратическое отклонение по формуле:

(9)

Для рассматриваемого примера σ = 2,45.

Очевидно, что чем больше показатели вариации признака, в частности, дисперсия, тем менее однородна исследуемая совокупность социально-правовых явлений.

С учетом того, что среднее квадратическое отклонение представляет собой абсолютную величину и зависит от единицы измерения, для сопоставимости различных исследований нужно использовать относительный коэффициент вариации.

Относительный коэффициент вариации (V) – это коэффициент, представляющий собой отношение среднего квадратического отклонения от средней арифметической, выраженное в процентах:

(10)

Значение относительного коэффициента вариации применительно к возрастному распределению осужденных за тяжкие телесные повреждения (таблица1) равно 12,2%.

В практике социально-правовых исследований довольно часто встречаются случаи, когда при анализе вариационного ряда числовое значение того или иного признака резко выделяется, вызывая большие сомнения с точки зрения включения его в дальнейшую обработку.

Причинами такого положения могут быть следующие:

- в первичном материале произошла грубая ошибка (ошибку необходимо исправить);

- значительное отличие варианты от других, когда ее значение выходит за пределы случайной вариации (варианту следует исключить из рассмотрения как ошибочную).

Но нередко бывает и такая ситуация, когда вызвавший сомнение объект, характеризующийся маловероятным значением признака, на самом деле является уникальным и должен быть повергнут индивидуальному социально-правовому анализу.

Таким образом, исключение вариантов не должно быть автоматическим, его следует производить с большой осторожностью.

При исключении испытуемого варианта из вариационного ряда следует следовать следующему алгоритму:

Шаг 1. Вычислить среднюю арифметическую без включения в нее признаков испытуемого варианта x_R.

Шаг 2. Вычислить вариационный размах R без включения признаков испытуемого варианта.

Шаг 3. Определить, заключается ли величина испытуемого варианта (S) в следующих пределах:

, (11)

где коэффициент α находится из таблицы 3:

Таблица 3.

Зависимость значения коэффициента α

от объема исследуемой совокупности

Объем исследуемой совокупности, n	5	6	7	8-9	10-11	12-15	16-22	23-35	36-63	64-150	151-330
Коэффициент α	1,7	1,6	1,5	1,4	1,3	1,2	1,1	1,0	0,9	0,8	0,7

Пример использования алгоритма исключения испытуемого варианта из вариационного ряда.

Постановка задачи. Пусть имеется вариационный ряд: распределение времени, затраченного дежурной группой для достижения места происшествия (таблица 4):

Таблица 4.

Эмпирическое число поездок и теоретические частоты

Время, затраченное дежурной группой для достижения места происшествия, xi, мин	Эмпирическое число поездок (частота), ni*	Теоретические частоты, niT
2,5	1	1
3,0	2	2
3,5	5	4
4,0	6	8
4,5	13	12
5,0	16	15
5,5	17	17
6,0	16	17
6,5	14	14
7,0	11	10
7,5	4	6
8,0	3	3
8,5	2	1
9,0	1	1
20,0	1	0
Итого:	112	111

Сомнение вызывает варианта 20,0.

Средняя арифметическая равна 5,59.

Вариационный размах R = 6,5 при n = 112 и α = 0,8.

Таким образом, допустимые границы вариации определяются соотношением:

0,39 < S < 10,79.

Так как варианта 20,0 почти в два раза превосходит максимально допустимую границу случайного колебания, то при дальнейшей обработке вариационного ряда ее надо исключить.

Графическое представление вариационного ряда в виде полигона принято называть также эмпирической кривой распределения.

Для обеспечения анализа, предсказания различных свойств исследуемой совокупности стремятся описать эмпирический ряд с помощью некоторой математической модели – закона распределения.

Самым известным законом распределения в природе и обществе, в частности, проявляющимся в действии социально-правовых процессов, выступает закон нормального распределения.

Кривая функции плотности нормального распределения описывается с помощью следующего соотношения:

(12)

Нормальное распределений той или иной случайной величины возникает в силу влияния на нее большого числа случайных причин, не имеющих значительного преимущества в этом влиянии друг перед другом. Такими случайными величинами могут выступать:

- возраст преступников;

- количество сигналов о происшествиях за единицу времени;

- время раскрытия преступления и др.

Покажем, что эмпирический вариационный ряд, отражающий время, затрачиваемое дежурной группой для достижения места преступления (таблица 4), подчиняется закону нормального распределения.

Средняя арифметическая этого ряда (математическое ожидание – m) равна 5,64.

Среднее квадратическое отклонение σ = 1,26.

Подставляя известные значения в формулу для функции плотности нормального распределения (формула 12), получим формулу конкретного эмпирического нормального распределения времени:

f(x)^* = 0,316* exp(- 0,313 * (x – 5,64)²). (13)

Для получения теоретических частот нормального распределения (n_i^T), то есть вычисленных с помощью математической модели частоты нормального распределения, необходимо значение функции f(x)^* умножить на k*n, то есть:

n_i^T = f(x)^*k*n. (14)

Этим самым учитывается величина выборочной совокупности и интервал наблюдения эмпирических данных.

Применительно к рассматриваемому примеру (исходные данные в таблице 4), получим формулу конкретного теоретического нормального распределения времени:

f(x) = 17,5* exp(- 0,313 * (x – 5,64)²). (15)

Результаты расчетов приведены в правом столбце таблицы 4, где в нижней строке представлены значения теоретических частот, вычисленных по формуле (15).

В том, что эмпирическая и теоретическая функции плотности распределения выездов дежурных групп примерно совпадают (то есть теоретическое нормальное распределение достаточно верно отражает эмпирическое распределение исследуемой совокупности), можно убедиться, построив график распределения выездов дежурных групп по времени достижения места происшествия (график строится самостоятельно). На графике по оси абсцисс откладывается время (от 0 до 10 мин.), а по оси ординат – количество выездов (от 0 до 20).

На графике можно увидеть, что кривая нормального распределения располагается симметрично относительно средней арифметической, поэтому величину средней называют центром распределения.

Влияние величины среднего квадратического отклонения (σ) сказывается следующим образом:

- чем σ меньше, тем более вытянута кривая вдоль оси ординат;

- чем σ больше, тем более плоской становится кривая, растягиваясь вдоль оси абсцисс.

Для практических приложений в социально-правовых исследованиях используется правило «трех сигм»:

- случайная величина с нормальным распределением практически не принимает значений, которые отличаются от средней арифметической на величину больше, чем 3σ .

Если указать точнее, то:

- в интервал (+-) σ попадает 68% всех наблюдений;

- в интервал (+-)2σ попадает 96% всех наблюдений ;

- в интервал (+-)3σ попадает 99,7% всех наблюдений.

Если проанализировать самостоятельно построенный график для рассматриваемого примера, то можно убедиться, что в интервал (+-)2σ попало 93,8% всех выездов дежурных групп. Таким образом и интервала (+-)2σ достаточно, чтобы оценить основное число вариант в исследуемых совокупностях, характеризующих те или иные социально-правовые процессы.

Важно знать, что при нормальном распределении величины средней арифметической, моды и медианы совпадают.

Статистические оценки числовых характеристик случайных величин

Определение статистических оценок производится преимущественно с помощью моментов эмпирического распределения, которые являются состоятельными оценками соответствующих моментов теоретического распределения.

Эмпирический начальный момент k-го порядка определяется равенством:

Начальный момент нулевого порядка равен единице.

Начальный момент первого порядка обозначают и называют обычно «среднее» (среднее выборочное, среднее арифметическое):

Это среднее является несмещенной состоятельной оценкой математического ожидания теоретического распределения.

Начальный момент второго порядка называют средним квадратом.

Эмпирическим центральным моментом k-го порядка называется величина:

Первый центральный момент равен нулю.

Второй центральный момент обозначают часто s².

Величина является состоятельной, но смещенной оценкой дисперсии теоретического распределения.

В связи с этим (особенно при n<=40-50) следует применять несмещенную состоятельную оценку дисперсии:

В задачах математической статистики используются величины:

которые являются состоятельными, но смещенными оценками среднего квадратического отклонения (СКО) теоретического распределения.

Величину s₁ иногда называют стандартом (стандартным отклонением).

При желании получить несмещенную состоятельную оценку s₂ среднее квадратическое отклонение (СКО) нормального распределения следует пользоваться формулой:

где Г – гамма-функция.

При достаточно большой выборке (не менее 30-40) для суждения о виде теоретического распределения привлекаются третий и четвертый центральные моменты, с помощью которых вычисляются оценки асимметрии и эксцесса:

g₁ = m₃/s²

g₂ = m₄/s⁴-3

Статистические критерии согласия

Визуальное сравнение эмпирического и теоретического распределений является первым этапом проверки соответствия статистических моделей реальным социально-правовым процессам.

Для более точного анализа разработан целый ряд статистических критериев согласия.

В практике правовых исследований наибольшее распространение получили два таких критерия:

- критерий (разработан английским статистиком Пирсоном);

- критерий Колмогорова.

Критерий .

Критерий Пирсона выражается следующей формулой:

(16)

Вычисление значения критерия для сравнения эмпирического и теоретического распределений времени, затраченного дежурной группой для достижения места происшествия (таблица 4), дает результат: = 2,73.

Много это, или мало? Ответ на это дает специальная таблица значения функции распределения F( ), имеющаяся в справочниках по вероятностным расчетам.

Для рассматриваемого примера по таблице находим, что для 13 степеней свободы (число вариант ряда минус единица) и критерия = 3 (даже превышающего вычисленный) вероятность соответствия эмпирического распределения теоретическому равна 0,998.

Критерий Колмогорова.

Критерий русского математика Колмогорова выражается следующей формулой:

, (17)

где n – объем исследуемой совокупности.

В числителе этой формулы представляется максимальная разница накопленных частот.

Для примера, представленного в таблице 4,

По специальной таблице (из справочника) можно найти, что для полученного значения критерия с вероятностью, близкой к 1, теоретическая и эмпирическая частоты совпадают.

Виды рядов динамики. Методы расчета среднего уровня в рядах динамики

Ряды динамики — это ряды статистических показателей, характеризующих развитие явлений природы и общества во времени. Публикуемые Госкомстатом России статистические сборники содержат большое количество рядов динамики в табличной форме. Ряды динамики позволяют выявить закономерности развития изучаемых явлений.

Ряды динамики содержат два вида показателей. Показатели времени (годы, кварталы, месяцы и др.) или моменты времени (на начало года, на начало каждого месяца и т.п.). Показатели уровней ряда. Показатели уровней рядов динамики могут быть выражены абсолютными величинами (производство продукта в тоннах или рублях), относительными величинами (удельный вес городского населения в %) и средними величинами (средняя заработная плата работников отрасли по годам и т. п.). В табличной форме ряд динамики содержит два столбца или две строки.

Правильное построение рядов динамики предполагает выполнение ряда требований:

все показатели ряда динамики должны быть научно обоснованными, достоверными;

показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по времени, т.е. должны быть исчислены за одинаковые периоды времени или на одинаковые даты;

показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по территории;

показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по содержанию, т.е. исчислены по единой методологии, одинаковым способом;

показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по кругу учитываемых хозяйств. Все показатели ряда динамики должны быть приведены в одних и тех же единицах измерения.

Статистические показатели могут характеризовать либо результаты изучаемого процесса за период времени, либо состояние изучаемого явления на определенный момент времени, т.е. показатели могут быть интервальными ( периодическими ) и моментными. Соответственно первоначально ряды динамики могут быть либо интервальными, либо моментными. Моментные ряды динамики в свою очередь могут быть с равными и неравными промежутками времени.

Первоначальные ряды динамики могут быть преобразованы в ряд средних величин и ряд относительных величин (цепной и базисный). Такие ряды динамики называют производными рядами динамики.

Методика расчета среднего уровня в рядах динамики различна, обусловлена видом ряда динамики. На примерах рассмотрим виды рядов динамики и формулы для расчета среднего уровня.

Интервальные ряды динамики

Уровни интервального ряда характеризуют результат изучаемого процесса за период времени: производство или реализация продукции ( за год, квартал, месяц и др. периоды), число принятых на работу, число родившихся и.т.п. Уровни интервального ряда можно суммировать. При этом получаем такой же показатель за более длительные интервалы времени.

Средний уровень в интервальных рядах динамики ( ) исчисляется по формуле средней арифметической простой:

y — уровни ряда (y₁, y₂ ,...,y_n),

n — число периодов (число уровней ряда).

Рассмотрим методику расчета среднего уровня интервального ряда динамики на примере данных о продаже сахара в России.

Годы	Продано сахара, тыс. тонн
1994	2905
1995	2585
1996	2647

- это среднегодовой объем реализации сахара населению России за 1994-1996 гг. Всего за три года было продано 8137 тыс.тонн сахара.

Моментные ряды динамики

Уровни моментных рядов динамики характеризуют состояние изучаемого явления на определенные моменты времени. Каждый последующий уровень включает в себя полностью или частично предыдущий показатель. Так, например, число работников на 1 апреля 1999 г. полностью или частично включает число работников на 1 марта.

Если сложить эти показатели, то получим повторный счет тех работников, которые работали в течение всего месяца. Полученная сумма экономического содержания не имеет, это расчетный показатель.

В моментных рядах динамики с равными интервалами времени средний уровень ряда исчисляется по формулесредней хронологической:

y -уровни моментного ряда;

n -число моментов (уровней ряда);

n — 1 — число периодов времени (лет, кварталов, месяцев).

Рассмотрим методику такого расчета по следующим данным о списочной численности работников предприятия за 1 квартал.

	Число работников
на 1 января	150
на 1 февраля	145
на 1 марта	162
на 1 апреля	166

Необходимо вычислить средний уровень ряда динамики, в данном примере — среднюю списочную численность работниковпредприятия:

Расчет выполнен по формуле средней хронологической. Средняя списочная численность работников предприятия за 1 квартал составила 155 человек. В знаменателе — 3 месяца в квартале, а в числителе (465) — это расчетное число, экономического содержания не имеет. В подавляющем числе экономических расчетов месяцы, независимо от числа календарных дней, считаются равными.

В моментных рядах динамики с неравными интервалами времени средний уровень ряда исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной. В качестве весов средней принимается продолжительность времени ( t- дни, месяцы ). Выполним расчет по этой формуле.

Списочная численность работников предприятия за октябрь такова: на 1 октября — 200 человек, 7 октября принято 15 человек, 12 октября уволен 1 человек, 21 октября принято 10 человек и до конца месяца приема и увольнения работников не было. Эту информацию можно представить в следующем виде:

Число работников	Число дней (период времени)
200	6 (с 1 по 6 включительно)
215	5 (с 7 по 11 включительно)
214	9 (с 12 по 20 включительно)
224	11 (с 21 по 31 включительно)

При определении среднего уровня ряда надо учесть продолжительность периодов между датами, т. е. применять формулу средней арифметической взвешенной:

В данной формуле числитель ( ) имеет экономическое содержание. В приведенном примере числитель (6665 человеко-дней) — это календарный фонд времени работников предприятия за октябрь. В знаменателе (31 день) — календарное число дней в месяце.

В тех случаях, когда имеем моментный ряд динамики с неравными интервалами времени, а конкретные даты изменения показателя неизвестны исследователю, то сначала надо вычислить среднюю величину ( ) для каждого интервала времени по формуле средней арифметической простой, а затем вычислить средний уровень для всего ряда динамики, взвесив исчисленные средние величины продолжительностью соответствующего интервала времени  . Формулы имеют следующий вид:

Рассмотренные выше ряды динамики состоят из абсолютных показателей, получаемых в результате статистических наблюдений. Построенные первоначально ряды динамики абсолютных показателей могут быть преобразованы в ряды производные: ряды средних величин и ряды относительных величин. Ряды относительных величин могут быть цепные (в % к предыдущему периоду) и базисные (в % к начальному периоду, принятому за базу сравнения — 100%). Расчет среднего уровня в производных рядах динамики выполняется по другим формулам.

Ряд средних величин

Сначала преобразуем приведенный выше моментный ряд динамики с равными интервалами времени в ряд средних величин. Для этого вычислим среднюю списочную численность работников предприятия за каждый месяц, как среднюю из показателей на начало и конец месяца( ): за январь (150+145):2=147,5; за февраль (145+162):2 = 153,5; за март (162+166):2 = 164.

Представим это в табличной форме.

Месяцы	Среднесписочная численность работников
Январь	147,5
Февраль	153,5
Март	164,0

Средний уровень в производных рядах средних величин рассчитывается по формуле средней арифметичекой простой:

Заметим, что средняя списочная численность работников предприятия за 1 квартал, вычисленная по формуле средней хронологической на базе данных на 1 число каждого месяца и по средней арифметической — по данным производного ряда — равны между собой, т.е. 155 человек. Сравнение расчетов позволяет понять, почему в формуле средней хронологической начальный и конечный уровни ряда берутся в половинном размере, а все промежуточные уровни берутся в полном размере.

Ряды средних величин, производные от моментных или интервальных рядов динамики, не следует смешивать с рядами динамики, в которых уровни выражены средней величиной. Например, средняя урожайность пшеницы по годам, средняя заработная плата и т.д.

Ряды относительных величин

В экономической практике очень широко используют ряды относительных величин. Практически любой первоначальный ряд динамики можно преобразовать в ряд относительных величин. По сути преобразование означает замену абсолютных показателей ряда относительными величинами динамики.

Средний уровень ряда в относительных рядах динамики называется среднегодовым темпом роста. Методы его расчета и анализа рассмотрены ниже.