1. Связь переменной с самой переменной и константой:

х/х = х/1 = ; х/ = х/0 = 1.

Проверка:

2. Связь операции Шеффера с конъюнкцией: Выражение конъюнкции через функцию Шеффера:

.

Доказательство:

3. Связь операции Шеффера с дизъюнкцией: Выражение дизъюнкции через функцию Шеффера:

Доказательство:

Правила склеивания:

Доказательство:

Доказательство:

Алгоритм преобразования логических функций булевой алгебры к выражению алгебры Шеффера:

Шаг 1. Над логической функцией в виде ДНФ ставиться 2-ое отрицание.

Шаг 2. Полученное выражение посредством закона де Моргана преобразуется к форме, содержащей только отрицание конъюнкций.

Шаг 3. Каждое отрицание конъюнкции выражается через операцию Шеффера над конъюнкциями меньшего числа переменных.

Шаг 4. Оставшиеся конъюнкции так же выражается через операцию Шеффера.

Шаг 5. Отрицания переменных (если они недопустимы) выражаются через операцию Шеффера с помощью (1).

19) Законы алгебры Вебба специфичны.

1. Связь переменной с самой переменной и константой:

х↓х = х↓0 = ; х↓ = х↓1 = 0.

Проверка:

2. Связь операции Вебба с конъюнкцией: Выражение конъюнкции через функцию Вебба:

Доказательство:

3) Связь операции Вебба с дизъюнкцией: Выражение дизъюнкции через функцию Вебба: )

Доказательство:

4. Правила склеивания:

Доказательство:

Алгоритм преобразования логических функций булевой алгебры к выражению алгебры Вебба:

Шаг 1. Над логической функцией в виде ДНФ ставиться двойное отрицание.

Шаг 2. Полученное выражение по закону де Моргана приводиться к форме, содержащий только отрицание дизъюнкций.

Шаг 3. Каждое отрицание дизъюнкции нескольких переменных приводится к выражению над дизъюнкциями меньшего числа переменных.

Шаг 4. Оставшиеся дизъюнкции выражаются через операции Вебба.

Шаг 5. Отрицания переменных (если они недопустимы) выражаются через операцию Вебба.

20) Законы алгебры Жегалкина:

Правила алгебры Жегалкина:

Любую функцию можно представить в виде полинома Жегалкина, используя следующие равносильные выражения:

Переход логической функции к алгебре Жегалкина осуществляется в несколько шагов:

Шаг 1. Представить логическую функции в ДНФ-

Шаг 2. Заменить все дизъюнкции на операции алгебры Жегалкина.

Шаг 3. Раскрыть все скобки по распределительному закону.

Шаг 4. Упростить все конъюнкции по законам булевой алгебры.

Шаг 5. Заменить все отрицания в конъюнкциях.

21)

Предикатом P(x₁,x₂,...,x_n) называется функция, аргументы которой определены на некотором множестве М, x₁,x₂,...,x_n M, а сама функция принимает два значения: И (истина) и Л (ложь). Таким образом, предикат осуществляет отображение множества М {И, Л}. Предикат от n переменных называется n-местным предикатом.

Высказывание есть 0-местный предикат.

Кванторы: Пусть P(x) – некоторый предикат, определенный для каждого xМ.

Тогда выражение xP(x) является истинным высказыванием, если P(x) истинно для всякого x  М и ложным в противном случае.

Символ x называется квантором общности. Выражение xP(x) читается: “Для всех x имеет место P(x)”.

В обычной речи квантору общности соответствуют слова: все, всякий, каждый, любой.

Возможно отрицание квантора общности: : “Не для всех x имеет место P(x)”.

Квантор существования.

Пусть P(x) – некоторый предикат, xМ. Тогда выражение xP(x) является истинным высказыванием, если P(x) истинно хотя бы для одного xМ и ложным в противном случае.

Символ x называется квантором существования. Выражение xP(x) читается: “Существует x, для которого имеет место P(x)”.

В обычной речи квантору существования соответствуют слова: некоторый, несколько.

Возможно отрицание квантора существования: :

“Не существует x, для которого имеет место P(x)”.

22) Рассмотрим несколько примеров преобразования фраз естесственного языка в формулы:

Высказывание 1: «В Москве живет женщина, имеющая брата в Петербурге».

Решение:

Введем предикаты, определенные на множестве людей:

P₁(x) − «х − женщина»; P₂(x) − «х живет в Москве»; Q₁(y) − «у − мужчина»; Q₂(y) − «у живет в Петербурге»; S (x,y) − «х есть сестра у».

Тогда формула логики предикатов будет выглядеть следующим образом:

23) Формула логики предикатов определяется индуктивно следующим образом:

1. Любая формула логики высказываний есть формула логики предикатов.

К новым формулам логики предикатов относятся следующие выражения:

2. Если x, y, z, ... – предметные переменные, то предикаты P(x), Q(x, y), ... , а также выражения с кванторами xP(x), xR(x), xyQ(x, y), есть формулы.

3. Если A и B – формулы, то , AÚB, A&B, A→B, AB есть формулы, в которых свободные переменные формул A и B остаются свободными, а связанные переменные формул A и B остаются связанными.

4. Ничто, кроме указанного в пунктах 1-3, не есть формула.

Пусть A – формула, содержащая свободную переменную x.

Тогда xA, xA – формулы, причем в первом случае A является областью действия квантора общности, а во втором – областью действия квантора существования.

Равносильности самой логики предикатов, связанные с кванторами.

Пусть A(x), B(x) – переменные предикаты, а С – переменное васказывание. Тогда имеют место следующие формулы:

1. . 2. 3. 4.

5. т.е. квантор общности можно вносить и выносить за скобки в конъюнкции, но нельзя в дизъюнкции:

Для формул 6-9 справедливо утверждение: постоянное высказывание можно вносить под знак и выносить из под знака квантора общности в конъюнкции, дизъюнкции, импликации.

6. .

7. 

8. 

9. 

10.

т.е. квантор существования можно вносить и выносить за скобки в дизъюнкции, но нельзя в конъюнкции:

Для формул 11-14 справедливо утверждение: постоянное высказывание можно вносить под знак и выносить из под знака квантора существования в конъюнкции, дизъюнкции, импликации.

11.  .

12.  .

13.  .

14. 

15. 

16. 

24) Предикатная формула имеет нормальную форму (приведенную форму), если она содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и кванторные операции, а операция отрицания отнесена только к элементарным формулам. Предваренной нормальной формой (ПНФ) логики предикатов называется такая нормальная (приведенная) форма, в которой либо полностью отсутствуют кванторные операции, либо они используются после всех операций алгебры логики.

25)

Свойства алгоритма.

Различные определения алгоритма, в явной или неявной форме, определяют следующие свойства.

1. Определенность. На каждом шаге алгоритма действия, которые нужно выполнить, должны быть строго и недвусмысленно определены в каждом возможном случае.

2. Дискретность. Возможность разбиения алгоритма на отдельные элементарные действия, которые выполняются последовательно друг за другом. При этом для выполнения каждого шага алгоритма требуется конечный отрезок времени, т. е. преобразование исходных данных в результат осуществляется во времени дискретно.

3. Детерминированность. Однозначность решения задачи при заданных исходных данных.

4. Массовость – (универсальность) предполагает, что алгоритм должен быть пригоден для решения всех задач данного типа, различающихся конкретными значениями исходных данных.

5. Результативность (конечность) означает возможность получения результата после выполнения конечного числа шагов.

6. Связанность. На каждом шаге алгоритма используются результаты предыдущего шага.

7. Эффективность. Все операции, которые необходимо выполнить, должны быть достаточно простыми, элементарными, чтобы их можно было выполнить точно и за конечное время.

26) Способы описания алгоритмов

Словесно-формульный способ.

При словесно-формульном способе алгоритм записывается в виде текста с формулами по пунктам, определяющим последовательность действий. Форма изложения произвольна и устанавливается разработчиком.

Графический или блок-схемный способ.

Связи между шагами алгоритма можно изобразить в виде графа, где вероятности перехода распределены эвристически.

Блок-схемой алгоритма называется такой граф, в котором вершинам соответствуют шаги, а дугам – переходы между ними.

Язык операторных схем алгоритмов (ОСА)

Наиболее часто используется при разработке цифровых устройств для описания алгоритм работы. К нему относятся язык граф схем алгоритмов (ГСА) и язык логических схем алгоритмов (ЛСА).

ГСА – ориентированный связный граф, содержащий одну начальную (A₀), одну конечную (A_k) и произвольное конечное множество условных X={x₁,..., x_L} и операторных A={A₁,..., A_M} вершин.

Язык логических схем алгоритмов ( ЛСА) является аналитической интерпретацией языка ГСА и может быть использован для более компактной формы записи алгоритма функционирования устройства. Язык ЛСА был впервые предложен А.А. Ляпуновым в 1953 г. для записи микропрограмм.

Язык программирования является последним способом записи алгоритмов. Рассмотренные выше способы удобны для программиста, но не приемлемы для ЭВМ, поскольку они не могут быть однозначно поняты.

Язык программирования – это знаковая система, предназначенная для описания процессов решения задач и их реализации на ЭВМ. Реализация означает, что описания могут быть введены в ЭВМ и однозначно ею поняты. К языкам программирования относятся языки команд или машинные языки и языки высокого уровня.

Первая группа представляет собственный язык ЭВМ, и исполнение программы возможно только в том случае, если она записана на этом языке. Однако программировать на машинном языке достаточно трудно, что обусловлено чрезмерной детализацией программы, необходимостью знать конкретную систему команд и детально представлять работу ЭВМ. Представление сложной программы на машинном языке неудобно для восприятия человеком.