13) Аналитическое представление булевых функций

Существует 2 различные формы представления логических функций:

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – это сумма произведений, образованных из переменных и их отрицаний. ДНФ не содержит скобок Пример: b + ac , abc + ac , а, b - дизъюнктивные нормальные формы; a(b + c) - нет.

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – это произведение сумм, состоящих из переменных и их отрицаний. Пример: a(b + c), ab(c + a) , a, - b,a + b конъюнктивные нормальные формы; a(bc + c) - нет.

14) Переход от СДНФ к СКНФ представления булевой функции осуществляется по следующему правилу.

Берется двойное отрицание исходной СДНФ.
Чтобы раскрыть одно из отрицаний, записывается логическая сумма конституент единицы, не вошедших в СДНФ, то есть отрицание функции.
Второе отрицание раскрывается по закону де Моргана.

Переход от СКНФ к СДНФ представления булевой функции осуществляется по следующему правилу.

1) Берется двойное отрицание исходной СКНФ.

2) Чтобы раскрыть одно из отрицаний, записывается логическая сумма конституент нуля, не вошедших в СКНФ, то есть отрицание функции.

3) Второе отрицание раскрывается по закону де Моргана.

Для преобразование ДНФ в СДНФ необходимо все элементарные конъюнкции, ранг которых отличается от максимального, умножить на логическую единицу, полученную из недостающих в конъюнкции переменных, а затем упростить, используя правило подобных преобразований.

Для преобразования КНФ в СКНФ необходимо все элементарные дизъюнкции, ранг которых отличается от максимального, дополнить логическим нулем, составленным из недостающих в дизъюнкции переменных, а затем упростить, используя правило подобных преобразований.

15) В табличной форме функция может быть представлена с помощью таблицы истинности или карты Карно. Таблица истинности содержит все 2ⁿвозможных входных наборов и значения функции, соответствующие каждому набору. Таблица истинности не позволяет выполнять формальные преобразования логических выражений, а при больших n она становится недостаточно наглядной.Карта Карно (диаграммы Вейча) представляют собой двумерную табличную форму представления функции. Каждая клетка карты Карно соответствует набору переменных булевой функции в ее таблице истинности. Другими словами каждой клетке в карте Карно сопоставляется элементарная дизъюнкция или конъюнкция из СДНФ или СКНФ, причем так, что любым осям симметрии таблицы соответствуют зоны, взаимно инверсные по какой – либо переменной. Такое расположение позволяет легко определить склеивающиеся пары элементарных описания функций. Любые две рядом расположенные клетки являются соседними, и их координаты отличаются значением только одной переменной. Кроме того, соседними являются клетки, стоящие в первом и последнем столбцах карты, т. е. клетки, которые будут соседними при сворачивании карты в вертикальный и горизонтальный цилиндры.

16) Аналитически формулы можно представлять в инфиксной и постфиксной форме. В инфиксной форме формулы записываются, когда знаки функции стоят непосредственно между аргументами, а порядок действия указан скобками.

Постфиксная форма характерна описанием пропозициональных связок формулы. Например,

где – операция импликация; – операция дизъюнкция

– операция конъюнкция; – операция отрицания.

В инфиксной форме формула будет иметь вид :

17) Базис – это функционально полная система логических функций, с помощью которой может быть представлена любая функция. Функционально полной является система булевых функций, суперпозицией и подстановкой которых могут быть выражены любые другие булевы функции любой сложности. Функционально полную систему булевых функций принято называть базисом.

Примером наиболее распространенного базиса является булевый базис, в который входят функции конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ). Булевый базис часто называют базисом И, ИЛИ, НЕ (&, , ).

Алгеброй Шеффера называется алгебра вида {P_i, /},

где P_i – множество всех возможных логических функций;

/ − знак операции Шеффера.