1. Слово "логика" означает правила, которым подчиняется мышление, или обозначает науку о правилах рассуждения и как оно осуществляется. Логика изучает мышление как способ, средство познания, достижения цели

Основными формами абстрактного мышления являются:

Понятие - форма мышления, в которой отражаются признаки отдельного предмета или класса однородных предметов.

Суждение - мысль, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах.

Суждения являются повествовательными предложениями, истинными или ложными. Они могут быть простыми и сложными.

Умозаключение - прием мышления, посредством которого из исходного знания получается новое знание; из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем заключение.

Формальная логика – наука о законах и формах правильного мышления, позволяющего получать истинное знание.

1­й этап работы Аристотеля. Вопрос "как мы рассуждаем", изучал "правила мышления".

2­й этап - появление математической логики. Основы ее заложил Лейбниц.

3­й этап связан с XX веком и попытками обосновать справедливость математических доказательств с исследованиями теории чисел, а также с попыткой разрешить известные логические парадоксы.

2. Математическая логика - это форма логики, которая полностью опирается на формальные математические методы. Она изучает только умозаключения со строго определенными объектами и суждениями, для которых можно однозначно решить, истинны они или ложны.

2(1) Высказывание − мысль, выраженная предложением и принимающая одно из двух значений истина или ложь.

Простое высказывание (элементарное, атомарное, атом) – одно утверждение. Его нельзя разбить на еще более мелкие. Сложное высказывание (составное, молекулярное, формула) – несколько элементарных утверждений, объединенных грамматическими связками:

Мета высказывание – это высказывание, субъект которого указывает на другое высказывание.

2(2). Логические переменные – это простое высказывание.

• Пропозициональные переменные – это переменные, формирующие высказывания, область значений которых состоит из двух значений: 0 и 1.

• Лингвистические переменные – переменные, значениями которой являются субъективные словесные оценки.

• Лингвистические переменные отличаются от числовых тем, что их значениями являются не числа, а слова или предложения на естественном или формальном языке.

• Предикатные переменные − переменные, значениями которых являются предикаты. Предикатные переменные отличаются от прочих переменных тем, что вместо них можно подставлять формулы.

Метапеременные – переменные, вместо которых допускается подстановка других переменных любого вида.

2(3). Логические функции – это зависимости между сочетаниями переменных различного типа, связанные в сложное высказывание.

Логические функции могут зависеть от одной, двух и любого числа переменных х1 ,…, хn.

Значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности), в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.

Различают однородные и неоднородные функции. Если аргументы принимают значения из того же множества, что и сама функция, то ее называют однородной функцией, иначе неоднородной.

4. Логические формулы - формулы, содержащие лишь логические переменные и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0).

• Пропозициональные формулы содержат кортеж из пропозициональных переменных и логических связок.

• Предикатные формулы состоят из набора предикатных переменных, логических операторов и кванторов.

• Метаформулы характерны кортежем метапеременных и логических операторов.

3. См. вопрос 2.

4. Важнейшими логическими операциями (пропозициональными связками) являются:

• ¬ − не;

•  − ИЛИ;

• , & − И

• − если…то, ИМПЛИКАЦИЯ;

• − РАВНОЗНАЧНОСТЬ.

Приоритет логических операций.

Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке:

1. инверсия;

2. конъюнкция;

3. дизъюнкция.

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются круглые скобки.

4. Языковыми выражениями в логике высказываний являются формулы, называемые пропозициональными формулами.

Они являются аналитическим способом представления (реализации, задания) пропозициональной функции и логическими формами высказываний.

Символы логических операций: отрицания ( ), конъюнкции (&), дизъюнкции () , импликации (→), эквивалентности (≡, , ↔) называются пропозициональными связками.

Латинскими заглавными буквами будем обозначать пропозициональные переменные, или высказывания, которые могут быть истинными или ложными.

Тавтологией называется пропозициональная форма, которая принимает значение И при любой совокупности истинных значений пропозициональных букв, входящих в нее.

Противоречием называется пропозициональная форма, которая принимает значение Л при любой совокупности истинных значений пропозициональных букв, входящих в нее.

4. Две формулы логики высказываний А и В называются равносильными если они принимают одинаковые логические значения при любом наборе значений входящих в них элементарных высказываний (пропозициональных переменных).

Свойства отношения равносильности между формулами:

‑ рефлексивность: А ≡ В;

‑ симметричность: если А ≡ В, то В ≡ А;

‑ транзитивность: если А ≡ В и В ≡ С , то А ≡ С.

А А ≡ А – закон идемпотентности для конъюнкции.

А А ≡ А – закон идемпотентности для дизъюнкции.

А 1 ≡ А , 1– истина.

А 1 ≡ 1 .

А 0 ≡ 0 , 0– ложь.

А 0 ≡ А.

А ≡ 0 – закон противоречия.

А ≡ 1 – закон исключенного третьего.

8. Нормальные формы – это представление функции с помощью элементарных конъюнкций и дизъюнкций.

Алгоритм приведения формул логики высказываний к ДНФ (КНФ)

Шаг 1. Все подформулы функции F, содержащие импликацию (A → B) заменяем на Ú B или на Шаг 2. Все подформулы функции F, содержащие эквивалентность (A ≡ B), заменяем на

A ≡ B = ( & )  (A & B) или A ≡ B =(A  ) &(  B).

Шаг 3. Все отрицания, стоящие над сложными подформулами, раскрываем по законам де Моргана.

Шаг 4. Устраняем все двойные отрицания над формулами.

Шаг 5. Осуществляем раскрытие всех скобок по закону дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции для ДНФ или по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции для КНФ.

Шаг 6. Для получения более простой формулы целесообразно использовать основные равносильности алгебры высказываний (идемпотентности, законы поглощения, склеивания и пр.).

Алгоритм приведения формулы функции к СДНФ

Шаг 1. Используя алгоритм построения ДНФ, находим формулу F, являющуюся ДНФ данной формулы.

Шаг 2. Если в элементарную конъюнкцию K_i формулы F не входит ни переменная A, ни ее отрицание A, то на основании 1-го закона расщепления заменяем K_i на (K_i & A ) Ú (K_i & ).

Шаг 3. В каждой элементарной конъюнкции переставляем конъюнктивные члены так, чтобы для каждого i (i = 1, ..., n) на i-ом месте была либо переменная A_i, либо ее отрицание _i.

Шаг 6. Устраняем возможные повторения конъюнктивных членов согласно закону идемпотентности для дизъюнкции: K_i Ú K_i .

10) Для представления логической функции, заданной таблицей истинности в сднф необходимо выполнить следующие шаги.

Шаг 1. Выбираем в таблице все наборы переменных A₁, A₂, ... , A_n, для которых значение функции F равно И.

Шаг 2. Для каждого такого набора (строки таблицы) составляем конъюнкцию переменных, причем в эту конъюнкцию переменная A

записывается без изменений (т. е A_i), если ее значение равно “И” и со знаком отрицания (т. е ), если ее значение равно “Л”.

Шаг 3. Составляем дизъюнкцию всех полученных конъюнкций.

СДНФ:

Для представления логической функции, заданной таблицей истинности в СКНФ необходимо выполнить следующие шаги.

Шаг 1. Выбираем в таблице все наборы переменных A₁, A₂, ... , A_n, для которых значение F равно Л

Шаг 2. Для каждого такого набора (строки таблицы) составляем дизъюнкцию переменных, причем в эту дизъюнкцию переменная A_i записывается без изменений (т. е A_i), если ее значение равно “Л” и со знаком отрицания (т. е ), если ее значение равно “И”.

Шаг 3. Составляем конъюнкцию всех полученных дизъюнкций.

11) Функцией алгебры Буля называется функция n переменных f(x1 , x2, …,xn), принимающая значения 0 или 1, ее аргументы также принимают два значения 0 или 1:

Функции одной переменной.

	f0	f1	f2	f3
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

f₀=0 и f₃=1 представляют собой константы 0 и 1.

f₁=x – функция повторения x,

f₂= – функция отрицания или инверсия x (читается «f есть не x»).

Функции f(x1,x2)	Переменные x1 x2					Название функции		Условное обозначение
	00	00	01	10
f0	0	0	0	0	абсолютно ложная функция		0
f1	0	0	0	1	конъюнкция (И)		x1 & x2
f2	0	0	1	0	запрет x2		x1  x2
f3	0	0	1	1	повторение x1		x1
f4	0	1	0	0	запрет x1		x2  x1
f5	0	1	0	1	повторение x2		x2
f6	0	1	1	0	исключающее ИЛИ		x1  x2
f7	0	1	1	1	дизъюнкция (ИЛИ)		x1 x2
f8	1	0	0	0	стрелка Пирса		x1 x2
f9	1	0	0	1	равнозначность		x1  x2
f10	1	0	1	0	отрицание x2
f11	1	0	1	1	импликация от x2 к x1		x2  x1
f1 2	1	1	0	0	отрицание x1
f13	1	1	0	1	импликация от x1 к x2		x1  x2
f14	1	1	1	0	штрих Шеффера		x1 / x2
f15	1	1	1	1	абсолютно истинная функция		1

12) Рассмотрим основные аксиомы и законы алгебры логики, позволяющие производить различные тождественные преобразования логических выражений.

Аксиомы алгебры логики:

1) Правило двойного отрицания: = X.

2) Правила подобных преобразований:

Х  Х  ...  Х = Х;

Х & Х & ... & Х = Х.

3) Правила операций с и константами 0 и 1: