Данные по производительности работников

Оценка производительности	Данные теста способностей	Пол 0 – женский; 1 - мужской
6	65	0
3	50	0
5	42	0
12	99	0
3	31	0
8	85	0
5	67	0
10	91	0
8	98	1
1	40	1
9	99	1
6	90	1
8	93	1
4	72	1
7	80	1

Уравнение регрессии будем искать в виде:

, (3.1)

где х₁ – переменная теста способностей;

х₂ – фиктивная переменная «пол»:

Уравнение (3.1) эквивалентно следующим уравнениям:

- для женщин;

- для мужчин.

Коэффициент b₂ представляет влияние мужского пола на производительность труда, b₁ - влияние разницы в результатах теста способностей. Переменную х₂ можно рассматривать как переключающую переменную, которая включена, когда рассматриваются данные для мужчины и выключена, когда данные относятся к женщине.

Введем данные в таблицу Excel и построим уравнение с помощью Пакета анализа. Результаты представлены на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Вывод итогов

Как видно из рис. 3.1 получено уравнение регрессии:

. (3.2)

Коэффициент при х₁ показывает, что при увеличении оценки теста на 1 балл, производительность труда увеличивается в среднем на 0,125 оценки.

Коэффициент при переменной х₂ применим только для мужчин. Он свидетельствует, что оценка производительности труда для мужчин на 2,3 балла ниже по сравнению с женщинами, при условии, что значение теста способностей у них одинаково.

Коэффициенты уравнения при переменных х₁ и х₂ значимы. Следовательно, на оценку производительности значения теста и пол опрашиваемого оказывают значимое влияние.

Можно записать уравнение отдельно для мужчин и женщин:

- для женщин;

- для мужчин.

Эти уравнения можно использовать для прогноза.

Рассчитаем производительность труда при прохождении теста на 70 баллов:

- для женщин;

- для мужчин.

4. Тест Чоу

Пусть совокупность состоит из двух подвыборок. Допустим, что число наблюдений в первой подвыборке равно n_A, во второй n_B. У нас есть альтернатива: объединить подвыборки и оценивать одну объединенную регрессию или строить отдельные регрессии для каждой подвыборки.

Запишем уравнения регрессии для каждой из частей совокупности:

Если коэффициенты регрессии в обеих частях достаточно близки, то их можно считать регрессионно однородными и рассматривать не два отдельных уравнения, а одно общее уравнение, рассчитанное по совокупности в целом.

Проверяемая гипотеза имеет вид:

.

Г. Чоу (Chow) предложил тест для проверки гипотезы Н_о. Рассчитываются суммы квадратов остатков для регрессий подвыборок , и по объединенной выборке .

Равенство между будет иметь место только при совпадении коэффициентов регрессии для объединенной регрессии и регрессий подвыборок. В общем случае при разделении выборки будет наблюдаться улучшение качества уравнения, что можно представить, как . Это имеет свою цену: используются (k+1) дополнительных степеней свободы, так как вместо (k + 1) параметров для одной объединенной регрессии мы теперь должны оценить в сумме (2k+2) параметров (k — число объясняющих переменных, единица соответствует постоянному члену). После разделения выборки, однако, остается необъясненная сумма квадратов остатков и, кроме того (n — 2k — 2) степеней свободы.

Для того, чтобы определить, является ли значимым улучшение качества уравнения после разделения выборки, используется F-статистика:

, (4.1)

которая имеет распределение Фишера с (k+1) и (n—2k—2) степенями свободы.

Задача 4

По данным задачи 3.1 с помощью теста Чоу проверьте, что коэффициенты регрессионных уравнений для мужчин и женщин одинаковы.