БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА «АВТОМОБИЛИ»

Дисциплина «Компьютерные модели автомобилей»

Лабораторная работа № 3

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Выполнил студент Буйвид И

группа 101071

Проверил Л.А. Молибошко

Минск - 2014

Цель работы: изучение численных методов решения на компьютере обыкновенных дифференциальных уравнений и анализ результатов расчета.

1 Задание

Решить на компьютере дифференциальное уравнение второго порядка

my” - by’ + cy = F (1)

со следующими исходными данными:

m =3

b =1

c =12

F =6

Принять начальные условия:

при t = 0 y = 0; y’ = 0.

2 Теоретическая часть

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называют уравнение, содержащее одну независимую переменную и производные по ней.

Численными методами решается уравнение первого порядка в виде:

с начальными условиями x₀, y₀, где x и y - соответственно независимая и зависимая переменная. В дальнейшем будем считать такое уравнение записанным в стандартном виде.

Уравнения более высоких порядков приводят к системе уравнений первого порядка введением дополнительных переменных. Например, для уравнения второго порядка

y” = f(x,y,y’)

примем v = y’. Тогда y” = v’ и имеем систему уравнений

v’ = f(x,y,v);

y’ = v.

Для заданного уравнения (1) имеем систему из двух уравнений первого порядка:

v’ =(F – bv – cy)/m;

y’ = v.

Существует много методов численного решения ОДУ.

Метод с использованием ряда Тейлора

(2)

теоретически пригоден для решения любых дифференциальных уравнений, но с вычислительной точки зрения не представляет практического интереса, так как требует вычисления производных второго и более высоких порядков.

Однако ряд Тейлора позволяет сравнивать между собой различные практически применяемые методы, хотя эти методы вообще не предусматривают вычисления производных второго и более высоких порядков.

Под порядком метода понимается максимальный порядок производной ряда Тейлора, учитываемый в численном методе. Численный метод n-го порядка согласуется с рядом Тейлора вплоть до членов c производными n-го порядка.

Метод Эйлера является простейшим методом решения ОДУ первого порядка. Он основан на разложении функции в ряд Тейлора (2). Его точность невелика, и поэтому на практике им пользуются сравнительно редко. Если h мало, то члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, являются малыми более высоких порядков и ими можно пренебречь. Тогда

.

Графическая интерпретация метода Эйлера показана на рис. 1. Известной является функция y₀ в точке x₀. Решение находится для ряда значений независимой переменной х с шагом h:

x₁ = x₀ + h ; x₂ = x₁ + h ; ... x_n+1 = x_n + h .

Рисунок 1 - Графическая интерпретация метода Эйлера

Значение функции y₁ в точке х₁ (рис. 1) находится на пересечении прямой, проведенной из точки (х₀,у₀) под углом ₀ = arctg(y₀') и перпендикуляра, проведенного к оси абсцисс из точки х₁. Процесс последовательно повторяется для других значений х.

Для повышения точности решения используют методы более высокого порядка. Чаще всего пользуются методом Рунге-Кутта четвертого порядка.