Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2009 р.

Завдання

6 клас

1. Андрійкові було років місяців тому, а Миколці буде років через місяців. Хто із них старший за віком? Відповідь обґрунтуйте.

2. Назвемо число «дзеркальним», якщо справа наліво воно читається так само, як і зліва направо. Наприклад, число – «дзеркальне». Знайдіть усі «дзеркальні» п’ятицифрові натуральні числа, в записі яких використовуються тільки цифри та . Відповідь обґрунтуйте.

3 . Марійка подивилася на малюнок і сказала: «Тут зображено сім прямокутників: один великий і шість маленьких». «Тут є ще інші – середні прямокутники» – сказала її матір. Скільки ж всього прямокутників на цьому малюнку? Відповідь обґрунтуйте.

4. Третина військової роти залишилася на території військової частини, а всі інші її бійці поїхали на стрільби. Бійці цієї роти, що залишилися, за обідом з’їли четвертину приготовленого для роти борщу, а бійці, що повернулися зі стрільб, отримали порції борщу в півтора рази більші, ніж видавалися за обідом. Скільки борщу залишилося для ротної собаки Найди? Відповідь обґрунтуйте.

5. Двоє по черзі вписують хрестики в клітинки таблиці розміром . Програє той, після чийого ходу утвориться квадрат , в усіх клітинках якого вписані хрестики. Хто виграє: той хто починає гру чи його суперник, і як потрібно грати, щоб виграти? Відповідь обґрунтувати.

7 клас

1. Знайдіть з рівняння .

2. У кімнату з периметром підлоги 22 м поклали килим, краї якого знаходяться на відстані 50 см від кожної стіни. Скільки метрів становить периметр килима?

3.Є карток, у кожній із яких одна сторона чорна, а друга – біла. Усі ці картки лежать на столі білою стороною догори. Андрійко спочатку перевертає карток, потім якісь карток, а потім якісь карток. Чи зможе Андрійко такими діями в кінцевому результаті перевернути усі карток чорною стороною догори? Відповідь обґрунтуйте.

4. Вздовж дороги довжиною ростуть лише липи (більше однієї). Перший турист йде по дорозі зі швидкістю . Біля кожної липи він зупиняється і відпочиває одне і те саме ціле число годин. Другий турист їде на велосипеді зі швидкістю і біля кожної липи відпочиває в двічі довше за першого туриста. Вибули і прибули вони одночасно. Скільки дерев біля дороги? Відповідь обґрунтуйте.

5. Чи можна на дошці розміром клітинок розташувати декілька тур так, щоб кожна тура била рівно одну іншу туру і при цьому, на кожній вертикалі і на кожній горизонталі повинна бути хоча б одна тура.

Відповідь обґрунтуйте. (Тура – це шахова фігура, яка тримає під боєм усі клітинки своєї вертикалі і своєї горизонталі.)

8 клас

1. При яких значеннях рівняння

і

мають спільний корінь?

2. Модуль значення виразу не перевищує 5. Скільки різних цілих значень може набувати значення виразу ?

3. Є карток, у кожної із яких одна сторона чорна, а друга – біла. Усі ці картки лежать на столі білою стороною догори. Петрик спочатку перевертає карток, потім якісь карток, а потім ще якісь карток. В кінцевому результаті усі карток виявилися перевернутими чорною стороною догори. Скільки карток були перевернутими три рази? Вкажіть усі можливі відповіді і доведіть, що інших немає.

4. Іванко і Марічка живуть у висотному будинку, на кожному поверсі якого по квартир. Номер поверху Іванка дорівнює номеру квартири Марічки, а сума номерів їх квартир дорівнює 239. Який номер квартири, в якій живе Іванко? Відповідь обґрунтуйте.

5. В п’ятикутній зірці, що зображена на малюнку, і . Відомо також, що . Доведіть, що .

9 клас

1. Розв’яжіть рівняння .

2. Дано графік лінійної функції (див. малюнок). Знайдіть значення виразу . Відповідь обґрунтуйте.

3. Вчителька написала на дошці два натуральних числа. Андрійко помножив перше число на суму цифр другого і отримав

,

а Миколка помножив друге число на суму цифр першого і отримав

.

Д оведіть, що хтось із них помилився.

4. На стороні трикутника знайшлися точки і такі, що – середина і – бісектриса кута . Крім цього, відомо, що . Доведіть, що .

5. Доведіть, що на дошку розміром клітинок не можна покласти по клітинках доміно (тобто прямокутників ) так, щоб у кожній горизонталі і у кожній вертикалі вони покривали непарну кількість клітинок. Доміно можуть дотикатися сторонами, але не можуть перекриватися.