6. Приклад доведення методом математичної індукції

1. Доведіть, що число, яке складається з 243 одиниць, ділиться на 243.

Розв’язування:

Помітимо, що 243 = 3⁵. Спробуємо довести більш загальне твердження, що число, складене з 3ⁿ одиниць, поділяється на Зⁿ. Виявляється, це простіше. Для n = 1 твердження вірне (111 поділяється на 3). Помітимо, що 111111111 = 111 • 1001001, і взагалі число з 3ⁿ одиниць розкладається на множники:

I ... 1 = 1 ... 1 *10...010... 01

причому, другий множник ділиться на 3 (по ознаці подільності на 3).

Отже, у послідовності чисел 111, 111111111, ..., «Зⁿ одиниць» кожне наступне дорівнює попередньому, помноженому на число, кратне трьом. Тому, якщо 1...1 ділиться на 3^n-1, то і 1...1 ділиться на Зⁿ.

ЛІТЕРАТУРА

 

1. Алгебра и начала анализа (система проведения занятий на подготовительных отделениях вузов): Учеб. пособие для подготовительных отделений вузов / В.С. Кра­мор - М.: Высш. школа, 1981. - 336 с., ил.

2. Александров Б.И., Максимов В.М., Лурье М.В., Колесниченко А.В. Пособие по математике для поступающих в вузы. Изд-во МГУ, 1972.

3. Большая советская энциклопедия / Гл. Ред. Б.А. Введенский. - 2-е изд. - Большая советская энциклопедия, Т. 18. Индекс - истон. 1953. - 620 с.: ил.

4. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. - 3-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 1992. - 335 с.: ил. - ISBN 5-09-003839-2.

5. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики. - М.: Просвещение, 1992. - 271 с.: ил. - ISBN 5-09-003875-9.

6. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике: Задачи логического харак­тера: Кн. для учащихся 5-11 кл. М.: Просвещение; Учебная литература, 1996. - 160 с.: ил. - ISBN 5-09-007092-Х.

7. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин С.Ф. Сборник конкурсных задач по ма­тематике (с методическими указаниями и решениями). - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 384 с.

8. Головина Л.И., Яглом И.М. Индукция в геометрии. Популярные лекции по математике, вып. 21. - М.: Физматгиз, 1961. - 100 с.: ил.

9. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для посту­пающих в вузы. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1972. - 528 с.

10. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб. пособие для 10-11 кл. сред. шк. / Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, С.И. Шварц­бурд. - М.: Просвещение, 1990. - 48 с.: ил. : ISBN 5-09-003597-0.

11. Каганов Э.Д. 400 самых интересных задач с решениями по школьному курсу математике для 6-11 классов. - М. - ЮНВЕС. - 1997. - 288 с. ISBN 5-88682-029-9.

12. Колмогоров А.Н., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала анализа. Метод мате­матической индукции // Математика в школе - 1975. - № 1 - с. 8 -14.

13. Коровин П.П. Неравенства. Популярные лекции по математике, вып. 5. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1974. - 72 с.: ил.

14. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.: Учеб. пособие для подготови­тельных отделений вузов. - М.: Высш. Школа, 1979. - 400 с., ил.

15. Пособие по математике для поступающих в вузы / под ред. Яковлева Г.Н. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 480 с.

16. Родосский К.А. Обобщённая форма полной математической индукции // Ма­тематика в школе - 1975. - № 1 - c. 8.

17. Соминский И.С. Метод математической индукции. Популярные лекции по математике, вып. 3. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литера­туры, 1965. - 56 с.: ил.

18. Соминский И.С., Головина Л.И., Яглом И.М. О математической индукцц. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1967. - 144 с.: ил.

19. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1989. - 252с.: ил.: ISBN 5-09-001288-1.

20. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. - М.: Педагогика, 1989. - 352 с.: ил.

10