3. Принцип математичної індукції
Повна індукція має в математиці лише обмежене застосування. Багато цікавих математичних тверджень охоплюють нескінченне число окремих випадків, а провести перевірку для нескінченного числа випадків людина не може (прикладом такого твердження може служити будь-як твердження, що відноситься до всіх натуральних чисел). Неповна ж індукція, як ми бачили, часто приводить до помилкових результатів.
У багатьох випадках вихід з такого роду утруднень полягає в звертанні до особливого методу міркувань, що називають методом математичної індукції. Він полягає в наступному.
Нехай потрібно довести справедливість деякого твердження для будь-якого натурального числа n (наприклад, потрібно довести, що сума перших n непарних чисел дорівнює n2). Безпосередня перевірка цього твердження для кожного n неможлива, оскільки множина натуральних чисел нескінчена. Щоб довести це твердження, перевіряють спочатку його справедливість для n=1. Потім доводять, що при будь-якому натуральному значенні k зі справедливості розглянутого твердження при n=k випливає його справедливість і при n=k+1. Тоді твердження вважається доведеним для всіх n. Справді, твердження справедливе при n=1. Але тоді воно справедливо і для наступного числа n=1+1=2. Зі справедливості твердження для n=2 його справедливість для n=2+1=3. Звідси, у свою чергу, випливає справедливість твердження для n=4 і т.д. Ясно, що зрештою ми дійдемо до будь-якого натурального числа n. Виходить, твердження вірне для будь-якого n.
Узагальнюючи сказане, сформулюємо загальний принцип.
Принцип математично ї індукції. Якщо речення А (n), що залежить від натурального числа n, істинно для n=1 з того, що воно істинно для n=k (де k - будь-яке натуральне число), випливає, що воно істинно і для наступного числа n=k+1, то А (n) істинно для будь-якого натурального числа n.
4. Узагальнення принципу математичної індукції
У ряді випадків буває потрібно довести справедливість деякого твердження не для всіх натуральних чисел, а лише для n p, де p - фіксованої натуральне число. У цьому випадку принцип математичної індукції формулюється в такий спосіб.
Якщо речення А (n) істинно при n=р і якщо А (k)А (k+1)для будь-якого kр, то А (n) істинно для будь-якого nр.
Принцип математичної індукції є однієї з аксіом множини натуральних чисел, що має багато застосувань у математиці, і тому не доводиться. На цьому принципі заснований метод доведення, що називається методом математичної індукції.
5. Метод математичної індукції
Доведення по методу математичної індукції проводитися в такий спосіб. З початку доказуване твердження перевіряється для n=1, тобто встановлюється істинність висловлення А (1). Цю частину доведення називають початком або базисом індукції. Потім йде частина доведення, що називається індукційним кроком. У цій частині доводять справедливість у припущенні справедливості твердження для n=k (припущення індукції), тобто доводять, що А (k)А (k+1). Уперше такий спосіб запропонували Б. Паскаль і Я. Бернуллі.
Метод математичної індукції дозволяє в пошуках загального закону випробувати виникаючі при цьому гіпотези, відкидати помилкові і затверджувати правильні.
Метод математичної індукції широко застосовується при доведенні теорем, тотожностей, нерівностей, при розв’язуванні задач на подільність, при розв’язуванні деяких геометричних і багатьох інших задач.