ВСТУП

 1. Повна і неповна індукція

2. Помилки в індуктивних міркуваннях

3. Принцип математичної індукції

4. Узагальнення принципу математичної індукції

5. Метод математичної індукції

6. Приклад доведення методом математичної індукції

ЛІТЕРАТУРА

ВСТУП

твердження для n=k+1 Метод математичної індукції відіграє істотну роль у вищій математиці, будучи сильним знаряддям у математичних доведеннях і при розв’язуванні різноманітних задач.

Також метод математичної індукції знаходить широке застосування й у рамках шкільного курсу: він часто застосовується для розв’язання алгебраїчних, арифметичних і геометричних задач, саме він дозволяє коротко і строго довести багато теорем.

 

1. Повна і неповна індукція

В основі всякого математичного дослідження лежать дедуктивний і індуктивний методи. Дедуктивний метод міркувань – це міркування від загального до частинного, тобто міркування, вихідним моментом якого є загальний результат, а заключним моментом – частинний результат. У математиці застосовуємо дедуктивний метод, проводячи міркування такого типу: дана фігура – прямокутник, а в кожного прямокутника діагоналі рівні, отже, і в даного прямокутника діагоналі рівні.

По своєму первісному змісті слово «індукція» застосовується до міркувань, за допомогою яких одержують загальні висновки, спираючи на ряд частинних тверджень. Найпростішим методом міркувань такого роду є повна індукція. От приклад подібного міркування.

Нехай потрібно установити, що кожне парне натуральне число n у межах 4n20 можна представити у виді суми двох простих чисел. Для цього візьмемо всі такі числа і випишемо відповідні розклади:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=11+7; 20=13+7.

Ці 9 рівностей показують, що кожне чисел, що нас цікавлять, дійсно представляється у виді суми двох простих.

Таким чином, повна індукція полягає в тому, що загальне твердження доводиться по окремості в кожному з кінцевого числа можливих випадків.

Іноді загальний результат вдається угадати після розгляду не всіх, а досить великого числа окремих випадків (так називана неповна індукція). Результат, отриманий неповною індукцією, залишається, однак, лише гіпотезою, поки він не доведений точним математичним міркуванням, що охоплює всі часткові випадки. Іншими словами, неповна індукція в математиці не вважається законним методом строго доведення, але є могутнім методом відкриття нових істин.

Нехай, наприклад, потрібно знайти суму перших n послідовних непарних чисел. Розглянемо окремі випадки:

1=1=1²;

1+3=4=2²;

1+3+5=9=3²;

1+3+5+7=16=4²;

1+3+5+7+9=25=5².

Після розгляду цих деяких окремих випадків напрошується наступний загальний висновок:

1+3+5+...+(2n-1)=n²,

тобто сума n перших послідовних непарних чисел дорівнює n².

Зрозуміло, зроблене спостереження ще не може бути доказом справедливості приведеної формули. Далі ми познайомимося з методом, користаючись яким, можна довести, що ця формула вірна.

 

2. Помилки в індуктивних міркуваннях

Наведемо приклади того, як індуктивні міркування призводять до помилкових висновків.

1. Різниця двозначного числа і числа, записаного тими ж цифрами, але в зворотному порядку, ділиться націло на 9. Різниця тризначного числа і числа, записаного тими ж цифрами, але в зворотному порядку, ділиться на 99. Виникає припущення про те, що різниця чотиризначного числа і числа, записаного тими ж цифрам, але в зворотному порядку, розділиться на 999. Це, однак, невірно, наприклад, 2231-1322 = 909, але 909 не поділяється на 999.

2. Розглядаючи числа виду 2² +1, французький математик П. Ферма помітив, що при n=1, 2, 3, 4 виходять прості числа. Він припустив, що всі числа такого виду – прості. Однак Л. Эйлер знайшов, що вже при n=5 це невірно: число 2³²+1 не є простим - воно ділиться на 641.

3. Розглянемо ще один приклад. Підставляючи в квадратний тричлен P(x)=x²+x+41 замість x натуральні числа 1, 2, 3, 4, 5, знайдемо: P(1)=43, P(2)=47, P(3)=53, P(4)=61, P(5)=71. Всі отримані значення даного тричлена є простими числами. Підставляючи замість x числа 0, -1, -2, -3, -4, одержимо: P(0)=41, P(-1)=41, P(-2)=43, P(-3)=47, P(-4)=53. Значення даного тричлена при зазначених значеннях змінної x також є простими числами. Виникає гіпотеза, що значення тричлена P(x) є простим числом при будь-якому цілому значенні x. Але висловлена гіпотеза помилкова, тому що, наприклад, P(41)=41²+41+41=41· 43.

4. Знаменитий німецький математик XVII ст., один із творців вищої математики, Г.В. Лейбніц довів, що при всякому цілому додатному n число n³-n ділиться на 3, число n⁵-n ділиться на 5, число n⁷-n ділиться на 7. На підставі цього він припустив, що при всякому непарному k і будь-якому натуральному n число n^k-n ділиться на k, але незабаром сам помітив, що 2⁹-2=510 не ділиться на 9.

5. Потрібно з'ясувати, чи існує таке натуральне число n, що число виду 991n²+1 є точним квадратом. Розглядаючи часткові випадки при n = 1, 2, 3, 4, ..., ми будемо одержувати числа, що не є точними квадратами. Якби ми робили обчислення для послідовних натуральних чисел, то щораз одержували би числа, що не є точними квадратами. Цілком природно припустити, що при всіх натуральних n числа виду 991n²+1 не є точними квадратами. Однак це невірно: за допомогою обчислювальної машини було знайдено 29-значне число m таке, що число 991m²+1 виявилося точним квадратом.

Розглянуті приклади дозволяють зробити простий і в той же час важливий висновок: неповна індукція може привести до помилки. Однак важливо підкреслити, що вона іноді приводить до істини, хоча можливість помилки виключати не можна. Твердження може бути справедливим у цілому ряді окремих випадків і в той же час несправедливим узагалі.