19.3. Поток событий. Простейший поток и его свойства

Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток включений приборов в бытовой электросети; поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение; поток сбоев (неисправностей) электронной вычислительной машины; поток выстрелов, направляемых на цель во время обстрела, и т. п. События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но здесь мы будем рассматривать лишь поток однородных событий, различающихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как последовательность точек   на числовой оси (рис. 19.3.1), соответствующих моментам появления событий.

Рис. 19.3.1.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового обслуживания является случайный поток заявок.

В настоящем   мы рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми особенно простыми свойствами. Для этого введем ряд определений.

1. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной   (рис. 19.3.1) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси   расположен этот участок.

2. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок   двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Если поток событий обладает всеми тремя свойствами (т. е. стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении условий 1-3 число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона (см.   5.9).

Поток событий– это последовательность событий, при которой они происходят одно за другим в случайные моменты времени. Случайный поток можно также назвать случайным точечным процессом, так как реализации такого процесса представляют собой случайную последовательность точек на временной оси.

Случайный точечный процесс, удовлетворяющий трем условиям: ординарности, стационарности и отсутствию последствий, называется простейшим или пуассоновским процессом или потоком.

Свойства простейшего потока событий.

Стационарность– свойство потока событий, заключающееся в том, что вероятность появления определенного числа событий за фиксированный промежуток времени не зависит от положения этого промежутка на оси времени, а зависит только он его длины, т.е. плотность потока появления событий постоянна во времени.

Ординарность– свойство потока, заключающееся в том, что события возникают поодиночке, а не группами, и практически невозможно одновременное появление двух и более событий.

Отсутствие последствия– свойство потока, заключающееся в том, что вероятность появления определенного числа событий в течение некоторого промежутка времени не зависит от числа и характера возникновения событий до начала этого промежутка времени, т.е. события взаимно независимы и случайные промежутки времени между соседними событиями также взаимно независимы.

На практике не всегда одновременно выполняются все три свойства, но простейший поток очень удобен для решения различных задач.

Важным понятием является интенсивность потока λ(t) – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Для стационарного потока событий его интенсивность есть величина постоянная, т.е. λ(t) = λ= соnst.

Простейший (стационарный пуассоновский) поток описывается распределением (законом) Пуассона

где а = λt,

т.е. 

здесь k– число событий на интервалеt;

р(k) – вероятность появления k событий за интервал времени t.

Оценка параметра а выполняется следующим образом. Если п – число проведенных испытаний и k_i – число событий, появившихся в i-м испытании, то оценка максимального правдоподобия параметра а равна  .

На рис. 4.9 приведено семейство распределений Пуассона для различных значений параметра а.

Для простейшего потока с интенсивностью λ интервал Т между соседними событиями имеет показательное распределение с плотностью

Если отсутствует свойство стационарности, то имеет место нестационарный пуассоновский поток (λ – зависит от времени), у которого интервал между появлениями событий уже не подчиняются показательному закону распределения.

Рисунок 4.9.

Стационарный поток с ограниченным последействием называется потоком Пальма(или рекуррентным). Для такого потока интервалыТ₁,Т₂, … между событиями представляют собой последовательности независимых случайных величин с одинаковым произвольным распределением. При показательном распределении интервалов между событиями поток Пальма становится простейшим потоком.

Потоки Пальма применяются в теории надежности при процессах восстановления изделий после отказов.

Простейший поток событий Пуассона.

Простейшим потоком событий Пуассона называется такой поток событий, который удовлетворяет следующим условиям:

1.Все события происходят мгновенно, то есть длительность любого события равна нулю. События можно рассматривать как точки на числовой оси времени.

2. Все события происходят независимо друг от друга.

3. Свойство ординарности: вероятность того, что за бесконечно малый промежуток времени произойдет два или более событий есть величина бесконечно малая более высокого порядка, чем вероятность того, что за этот же промежуток времени произойдет ровно одно событие.

Характеристикой простейшего потока является его интенсивность μ – математическое ожидание количества событий, происходящих за единицу времени (среде вероятное количество событий, происходящих за единицу времени). Размерность μ есть  . Мы будем рассматривать только стационарные потоки событий, в которых μ не меняется во времени.

Часто встречающиеся распределения случайных величин.

1. Дискретные случайные величины.

1. Индикатор случайного события.

Пусть А — случайное событие,  — вероятность события А.

индикатор события I(A) - дискретная случайная величина такая что

С ледовательно, ряд распределения случайной величиныI(A) запишется так:

I(A)
0	1-p
1	p

Математическое ожидание  .

Таким образом, математическое ожидание индикатора события равно вероятности этого события.

Дисперсия  .

1.2. Равномерное распределение дискретной случайной величины.

X– случайная величина (СВ), которая может принимать значения только из множества чисел, представляющих собой конечную арифметическую прогрессию. Ряд распределения имеет вид:

…	…

Здесь  и так далее. Вероятности принятия того или иного значения одинаковы и равны .

Математическое ожидание  .

Дисперсию вычислим по общей формуле:  .

Найдем закон распределения интервалов времени между событиями для простейшего потока. Рассмотрим случайную величину   - промежуток времени между двумя произвольными соседними событиями в простейшем потоке. Требуется найти функцию распределения   .

Рассмотрим противоположное событие  . Это вероятность того, что, начиная с некоторого момента   появления события, за время     не появится больше ни одного события. Так как поток без последействия, то тот факт, что событие появилось в момент   , не должен оказать никакого влияния на поведение потока в дальнейшем. Поэтому вероятность  , откуда   и плотность распределения вероятности   .

Такой закон распределения называется показательным (экспоненциальным) с параметром l. Найдем математическое ожидание   и дисперсию   этого процесса:

 ;

.

Показательный закон обладает замечательным свойством: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время   , то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка  (он будет таким же, как закон распределения промежутка   ).

Докажем это свойство. Пусть   - вероятность того, что обслуживание, продолжавшееся   (с), еще продлится не менее   (с): т.е. на интервале времени a+t не произойдет ни одного события. При показательном законе распределения времени обслуживания   .

По теореме о произведении вероятностей событий   . При показательном законе   ;   и, следовательно,   , т.е. при показательном законе времени обслуживания закон распределения оставшейся части времени обслуживания не зависит от того, сколько времени уже длилось обслуживание. Можно доказать, что показательный закон единственный, для которого справедливо это свойство.

Рассмотренное свойство, по существу, представляет другую формулировку свойства отсутствия последействия.

Разновидностью марковского процесса с дискретными состояниями S₀,S₁,S₂,…,S_n является процесс гибели и размножения, - если все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из промежуточных (средних) состояний (S₁,S₂,…,S_n-1) может переходить только в соседние (смежные) состояния, которые, в свою очередь, переходят обратно, а крайние состояния (S₀иS_n) переходят только в соседние состояния (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Граф состояний для процесса гибели и размножения

 

Название процесса взято из биологических моделей, где состояние популяцииS_kозначает наличие в популяции k единиц особей. Переход вправо связан с размножением особей, а влево - с их гибелью, то есть, из рис. 4.2:

· λ₀(t),λ₁(t),λ₂(t),…,λ_n-1(t) - интенсивности размножения;

· μ₁(t),μ₂(t),μ₃(t),…,μ_n(t) - интенсивности гибели.

Примечание. У λ и μ индекс того состояния, из которого стрелка выходит.

Предельные (финальные) вероятности состояний для простейшего процесса гибели и размножения (когда процесс перешел в стационарный режим) определяются по следующим формулам:

 

P₀= {1 +(λ₀/μ₁) + [(λ₀∙λ₁)/( μ₁∙μ₂)] +…+ [(λ₀∙λ₁∙…∙λ_n-1)/( μ₁∙μ₂∙…∙ μ_n)]},^-1

 

P_k=P₀∙(λ₀∙λ₁∙…∙λ_k-1)/(μ₁∙μ₂∙…∙ μ_k),k= 1, 2,…, n.

 

Правило: "вероятность k-го состояния в процессе гибели и размножения равна дроби, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей размножения, стоящих левее S_k, а в знаменателе - произведение всех интенсивностей гибели, стоящих левее S_k, умноженной на вероятность крайнего левого состояния системы P₀".

Для простейшего процесса гибели и размножения (когда он перешел в стационарный режим) в тех случаях, когда интенсивности размножения и гибели постоянны формулы для финальных вероятностей упрощаются

 

 

P₀=e,^-(λ / μ)

P_k= {[(λ/μ)^k] / k!} ∙ e ^-(λ/μ).

 

Примечание. Данные формулы корректны для случая, когда отсутствует ограничение на k. При наличии ограничения k≤n формулы для финальных вероятностей выглядят следующим образом:

 

P₀=e^-α / [∑α^k∙e^-(α/k!) ], где α= λ/μ;

 

P_k=P₀∙(α/k!), гдеk= 0, 1, 2,…, n.

В практике встречаются процессы чистого размножения (в них интенсивности всех потоков гибели равны нулю) и процессы чистой гибели (в них интенсивности всех потоков размножения равны нулю).

10 При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы — систем массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем являются телефонные системы, ремонтные мастерские, вычислительные комплексы, билетные кассы, магазины, парикмахерские и т.п.

Классификация СМО

Первое деление (по наличию очередей):

• СМО с отказами;

• СМО с очередью.

В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.

В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.

СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь, – ограничена или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».

Итак, например, рассматриваются следующие СМО:

• СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);

• СМО с обслуживанием с приоритетом, т. е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т. д.

Типы ограничения очереди могут быть комбинированными.

Другая классификация делит СМО по источнику заявок. Порождать заявки (требования) может сама система или некая внешняя среда, существующая независимо от системы.

Естественно, поток заявок, порожденный самой системой, будет зависеть от системы и ее состояния.

Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.

В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.

Пример замкнутой системы: выдача кассиром зарплаты на предприятии.

По количеству каналов СМО делятся на:

• одноканальные;

• многоканальные.

Классификация систем массового обслуживания. Сокращенные наименования Д.Кендалла

Для сокращенного наименования систем массового обслуживания Д. Кендалл предложил использовать буквенное обозначение. В основе системы лежит трехбуквенное обозначение вида

A / B / m / K / M

Обозначение букв: A и B описывают соответственно распределение промежутков времени между последовательными требованиями и распределение времени их обслуживания

m – число обслуживающих приборов.

A и B принимают значение из следующего набора символов, интерпретация которых даёт распределение:

M – показательное;

Er – распределение Эрланга порядка r;

Hr – гиперпоказательное распределение порядка R;

D – детерминированное;

G – распределение общего вида (неконтролируемое);

Иногда также приходиться указывать ёмкость накопителей системы, т.е. предельное число заявок в системе или длину очереди – k.

A / B / m / k / M

M – число источников нагрузки.

В случае отсутствия одного или двух последних индексов (A/B/m/k/ M или A/B/m/k) предполагается, что его значение сколь угодно велико, т.е. неограниченно.

D / M / 2 / 20 – обозначает СМО с двумя обслуживающими приборами с постоянным временем между двумя последовательно поступающими требованиями, показательным распределением временем обслуживания и накопителем ёмкостью 20 требований.

M / G / 1 - одноканальная система массового обслуживания с простейшим входящим потоком, произвольным распределением времени обслуживания, неограниченной очередью.

Показательное распределение обладает Марковским свойством: для любого момента времени вероятность наступления события определяется только его состоянием в этот момент времени и не зависит от предыстории процесса.

Развитие теории массового обслуживания привело к созданию модифицированных обозначений для новых классов исследованных систем: замкнутых, с неординарным потоком заявок, с неординарным потоком заявок, с групповым обслуживанием, с различными вариантами приоритета и т.д.