5.3.6. Пуассоновский процесс.

Рассматривается последовательность случайных событий, каждое из которых можно представить точкой на оси времени, а всю последовательность событий — потоком случайных точек. Обозначим через   число событий (случайных точек), появившихся на интервале (0, t). Предположим, что число событий   на интервале   не зависит от того, сколько событий и когда происходили до указанного интервала, т. е. отсутствует последействие. Предположим, кроме того, что вероятность появления более одного события на интервале   при   убывает быстрее, чем   (имеет место ординарность), и что вероятность появления одного события на интервале  равна  .

Тогда   - случайный процесс с независимыми приращениями, подчиняемый закону распределения Пуассона

где

и называемый пуассоновским.

При фиксированном значении   реализации пуассоновского процесса — неубывающие ступенчатые функции   с единичными скачками в случайные моменты времени (рис. 5.2). Пуассоновский процесс — непрерывный по вероятности, что не противоречит возможности скачков в отдельных реализациях.

Характеристические функции пуассоновского процесса и его приращения

из которых следует и общая формула (5.33).

Модель пуассоновского процесса широко используется в естествознании и технике, в теории массового обслуживания, в теории надежности, в ядерной физике и многих других областях.

5.3.7. Однородный пуассоновский процесс.

Пуассоновский процесс однородный (стационарный), если интенсивность   потока событий —постоянная величина. Тогда из (5.45 а) следует

и, следовательно, [см. (5.45)]

Одномерная и двумерная характеристические функции однородного пуассоновского процесса

Рис. 5.2. Пуассоновский процесс

Из (5.50) находим среднее значение однородного пуассоновского процесса

а из (5.51) — смешанный момент второго порядка

Заметим, что моментная функция второго порядка (5.53) однородного пуассоновского процесса отличается откорреляционной функции (5.43) винеровского процесса только постоянным множителем, хотя указанные случайные процессы (пуассоновский и винеровский) существенно отличаются как по виду отдельных реализаций, так и по распределениям вероятностей.

5.3.8. Обобщенный однородный пуассоновский процесс.

Случайный процесс

где   — одинаково распределенные независимые случайные величины, a   - единичный скачок в момент соответствующий   скачку однородного пуассоновского процесса   с параметром  , назовем обобщенным однородным пуассоновским [16]. Реализациями такого процесса являются ступенчатые функции со случайными независимыми скачками в случайные моменты времени (рис. 5.3).

Характеристическая функция обобщенного однородного пуассоновского процесса [16]

где   — характеристическая функция случайных скачков  . Если скачки детерминированы и равны единице, то   и формула (5.55) совпадает с (5.50).

Среднее значение и смешанный момент второго порядка обобщенного однородного пуассоновского процесса [16]

(5.56 а)

Имея в виду, что g распределены одинаково, т. е. что   и   нетрудно заметить, что указанные величины отличаются от соответствующих величин однородного пуассоновского процесса лишь множителями а и  [см. (5.22) и (5.53)].

Рис. 5.3. Обобщенный пуассоновский процесс

Как и однородный пуассоновский процесс, обобщенный пуассоновский является случайым процессом с независимыми приращениями.