1. Модель. Моделювання. Етапи моделювання.

Модель-спрощене подобу реального об'єкта або його частини, використовуваного для дослідження властивостей і характеристик даного об'єкта. Математичне моделювання - метод дослідження реальних об'єктів за допомогою постановки експериментів на їх математичних моделях. Етапи моделювання: 1. Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз; 2. Побудова математичної моделі (формалізація у вигляді мат. Засобів); 3. Математичний аналіз моделі; 4. Підготовка вихідної інформації; 5. Отримання числових рішень; 6. Аналіз отриманих результатів; 7. Підготовка управлінських рішень; При цьому на кожному з етапів можливе повернення до попереднього кроку для необхідних уточнень.

2. Класифікація економіко-математичних моделей. Мат.модель- модель, побудована за допомогою рівнянь, функцій, нерівностей, співвідношень і т.п. Причини побудови моделей: 1. Дорого; 2.Долго (швидко); 3.Разрушеніе; 4.Невозможность виділення (вивчення) спостережуваної характеристики; 5. Досліджуваний об'єкт (характеристика) вже (ще) не існує. Класифікація: 1. Дескриптивні: для опису систем зберігання і передачі знань; 2. Статистичні: дозволяють встановити неспостережувані параметри системи; 3. Аналітичні: використовуються для виявлення резервів підвищення ефективності; 4. Імітаційні: для дослідження поведінки системи в заданих умовах; 5. Оптимізаційні: для відшукання кращого режиму функціонування системи.

3. Постановка задачі оптімізації. Класифікація оптімізаційніх моделей. Режим функціонування системи в математичній моделі описується невідомими величинами (змінними x1 ... xn). Ступінь досягнення оптимального режиму функціонування системи описується цільовою функцією (1) найбільше (найменше) значення якої необхідно знайти. f (x1 ... xn) -> extr (1) Завдання безумовної оптимізації-це без обмежень. У разі наявності обмежень на можливі значення змінних цільової функції (1) доповнюється системою нерівностей. g I (x1 ... xn) ≤ bi (const) (i = 1 ... r) (2) Залежно від кількості змінних форми функцій f і gi розрізняють оптимізаційні задачі: -одномерние і багатовимірні оптимізації; - Безумовної (1) і умовної (1, 2) оптимізації; - Лінійної оптимізації f; gi - лінійні (все в 1 ступеня); -нелінейние (f або gi входить в обмеження); -целочісленние (лін. завдання на цілочисельність обмеження).

4. Лінійні оптимізаційні моделі. Приклади задач лінійної оптимізації. F=4x₁-3x₂-> max (min)

2x₁+3x₂≤6

X₁+x₂=5

X₁;x₂≥0 (3)

Якщо за логікою поставленого завдання змінні не можуть брати негативні значення модель (1) (2) доповнюється умовою невід'ємності типу (3). Для побудови моделі економічної задачі у формі лінійної оптимізаційної моделі, вона повинна відповідати вимогам пропорційності і оддітівності. Загальні витрати прямопропорційні кількістю виробленої продукції. Витрати на виробництва всіх видів продукції = сумі витрат окремих видів продукції. Класичними економічними завданнями, які вирішуються за допомогою лінійних моделей є: про організацію; про сумішах; про раціоні; транспортна; розкрої.

Приклад: Затрати на єд.

П₁ П₂ Запаси

С₁ 3 4 12

С₂ 5 3 15

С₃ 2 5 10

Ценна 8 7

за ед.

Необх. опор. план проізвод. максимізуючий дохід.

Х₁ кол.пр. П₁; Х₂ кол.пр. П₂

F=8x₁+7x₂->max

3x₂ +4x₂≤12

5x₁+3x₂≤15

2x₁+5x₂≤10

7. Геометрична інтерпретація задачі лінійної оптимізації. Система обмежень описує певну множину в н-мірному просторі. Множина наз.опуклою, якщо разом з 2-ма своїми точками містить їх довільну лінійну комбінацію (при n=2 лінійною комбінацією точок множини є відрізок, що їх сполучає). Вершини опуклих множин наз. кутовими точками. Множина планів задачі лінійної оптимізації завжди є опуклою (якщо вона непуста). При n=2 система обмежень, що містить 2 змінні може мати наступні геометричні інтерпретації розв’язку системи обмежень. 1.пуста множина розв’язків не має; 2. Півплощина; 3.пряма лінія; 4.точка.область допустимих значень(коли 1 розв’язок).5.Замкнений опуклий багатокутник(незамкнений). Теорема: якщо лінійна оптимізаційна задача має оптимальний розв’язок то він досягається в 1 з вершин багатокутника розв’язків (ОПР). Якщо оптимальне значення досягається одночасно в 2-х кутових точках, то воно досягається в будь-який комбінації цих точок(сторона). При n=2, якщо x¹ opt(x₁¹;x₂¹);x²opt(x₁²;x₂²) то загальний розв’язок задачі у вигляді їх лінійної комбінації має вигляд. X opt = (1-t)x¹opt+tx²opt; tє[0;1].

5. Форми запису задач лінійної оптимізацї. 1. Загальна задача: 1. F->max(min); 2. Система обмежень ≤; ≥;=; 3. Не обв'язкова наявність незаперечливості. F=2x₁+x₂->min

2x₂+x₁≤4

2x₁-3x₂≥5

X₁≥0

2. Стандартная (симметрична): 1. F->max!; 2. Обмеження ≤; 3. Обов'язково.

F=x₁-x₂->max

X₁+x₁≤6

X₁+2x₂≤10

X₁; X₂≥0

3.Канонічна (основна): 1. F->max; 2.=; 3. Обов'язково!

F=2x₁+7x₂->max

3x₁+x₂=5

X₁≥0; x₂ ≥0

Сукупність змінних (Х = (Х1 ... Хn)) задовольняють системі обмежень називається допустимим рішенням (план завдань). План Х * = (Х1 * ... Хn *) при якому ц.ф. (F) досягає оптимального значення називається оптимальним планом. Для того щоб знайти оптимальне рішення необхідно знайти такий набір змінних задовольняють системі обмежень при якому ц.ф. досягає оптимального значення. Шляхом елементарних перетворень будь-яка задача лінійної оптимізації може бути представлена ​​в будь-який з форм (1,2,3) еквівалентних між собою з погляду оптимальності їх рішень.

6. Правила перетворення математичної моделі задачі лінійної оптимізації. 1. Min->max і навпаки. Min F= -max(-F). F= -3x₁+4x₂->min~F=3x₁-4x₂->max. 2. ≥--->≤ a≥b; -a≤-b; 3x₁-2x₂≥5->-3x₁+2x₂≤-5; 3. ≤=; 2x₁+4x₂≤82x₁+4x₂+x₃=8(x₃≥0); a≤ba+c=b(c≥0); 4.≥=; a≥b a-c=b (c≥0); 5x₁-x₂≥65x₁-x₂-x₃=6; 5.=≤; a=b система a≤b;a≥b система a≤b;-a≤-b; 4x₁+3x₂=8система 4x₁+3x₂≤8; 4x₁+3x₂≥8.

Незапеечливості: 1. Шляхом елементарних перетворень змінна, на яку не налагоджена система обмежень виводиться із завдань; 2. Проблемна змінна замінюється різницею 2-х додаткових невід'ємних змінних з наступною заміною в обмеженнях і ц.ф.

F=2x₁-x₂max F=2x₁-x₃+x₄max

X₁+3x₂≤5  x₁+3x₃-3x₄≤5

X₁≥0 x₁;x₂;x₃≥0

X₂=x₃-x₄ (x₃;x₄≥0)

Загальна: F=-2x₁+4x₂max

-3x₁+2x₂≥8

2x₁-3x₂≤6

X₂≥0

Стандартна: F=2x₁-4x₂max F=2x₃-2x₄-4x₂max

3x₁-2x₂≤-8  3x₃-3x₄-2x₂≤-8

2x₁-3x₂≤6 2x₃-3x₄-3x₂≤6

X₁=x₃-x₄; x₂;x₃;x₄≥0 x₂≥0; x₃≥0; x₄≥0

Канонічна: F=2x₃-4x₂-2x₄max

-2x₂+3x₃-3x₄+x₅=-8

-3x₂+2x₃-3x₄+x₆=6

X₂;x₃;x₄;x₅;x₆≥0

8. Геометрична інтерпретація ОЗЛП для випадку n=2 (графічний метод).

F=2x₁+3x₂max

X₁+4x₂≤8 (1)

3x₁+x₂≤6 (2)

X₁≥0;x₂≥0

1 .Визначити ОПР. Для цього розв’язати графічно систему обмежень. 1: x₁+4x₂=8; x₁(0,8);x₂(2,0); 2. 3x₁+x₂=6; x₁(0,1); x₂(6,3); x₁\a*x₂\b=1;1x₁\2+x₂\6=1

2.Визначити напрямок збільшення цільової функції. gradF=(dF\dx₁;dF\dx₂). ОПР:OABC. ḡ(2;3).

3. Перпендикуляри до вектору градієнта будуються лінії рівня, тобто лінії однакових значень цільоваї функції (через 0;0 проходить лінія 0-го рівня).

4. Здійснюючи паралельне перенесення лінії 0-го рівня в напрямку <;> цільової функції визначається кутова точка (точки) які відповідають max(min) значенню ц.ф.

5. Fmax=F(B). Визначити координати оптимальної точки. B=1 пересек. 2.

6. Підставляючи оптимальні значення змінних в ц.ф. обчислюється її max\min значення.