Система линейных уравнений с неизвестными.
Пусть число
уравнений системы равно числу неизвестных.
Тогда матрица системы является квадратной,
а ее определитель
называется определителем системы.
Рассмотрим методы решения систем линейных уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и которые имеют единственное решение.
Метод Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формуле
,
,
где
-
определитель, получаемый из определителя
системы
заменой
-
го столбца столбцом свободных членов.
Примеры.
1)
;
А =
,
В =
,
Х =
.
=
= -7 ≠ 0 существует
единственное решение.
=
= -14;
=
= -7;
Решение системы Х =
,
или
.
;
Отв.
2)
;
А =
,
В =
,
Х =
.
=
= 23 ≠ 0 существует
единственное решение.
=
=
69;
=
= 92;
Решение системы Х =
,
или
.
3)
;
А =
,
В =
,
Х =
.
=
= 5 ≠ 0 существует
единственное решение.
=
= 20;
=
= 10;
=
= 5;
Решение системы
.
Анализ данных в Excel. Решить систему методом Крамера:
Вид листа Excel расчета решений системы методом Крамера показан в следующей таблице.
Решение системы .
Задание. В файле Excel «Линейная алгебра-(Заочка)» выполнить лист «Метод Крамера».
Метод обратной
матрицы. Если
,
то существует обратная матрица
.
Умножим слева обе части уравнения АХ =
В на
,
поучим
.
Поскольку
,
то решение системы есть
.
Примеры. Решить систему уравнений методом обратной матрицы.
1)
;
А =
,
В =
,
Х =
.
=
= -3 ≠ 0 существует
,
вычисляемая по формуле
=
.
;
;
;
=
·
=
,
или
.
Анализ данных в Excel. Решить систему методом обратной матрицы:
Вид листа Excel расчета решений системы методом обратной матрицы показан в следующей таблице.
Решение системы .
Задание. В файле Excel «Линейная алгебра-(Заочка)» выполнить лист «Метод обратной матрицы».
Метод «Поиск решения». Решить совместную систему линейных уравнений АХ = В можно с помощью инструмента «Поиск решения» Excel.
Пример. Решить систему:
;
А =
,
В =
,
Х =
.
Исходные данные, представленные на рабочем листе Excel, имеют вид
Ввод данных задачи и формул в соответствующие ячейки приведен в следующей таблице
В ячейках A1:C1 записаны обозначения переменных x1, x2, x3 |
Ячейки A2:C2 резервируются для значений переменных, которые будут найдены после выполнения процедуры Поиск решения |
В ячейки A4:C6 заносим коэффициенты матрицы А системы уравнений |
В ячейки Е4:Е6 заносим столбец В свободных членов |
В ячейку D4 вводим формулу: =СУММПРОИЗВ(A4:C4;$A$2:$C$2) |
Формулу ячейки D4 «протягиваем» до D6 включительно |
Запустить команду Поиск решения.
Заполненное диалоговое окно Поиск решения имеет вид
После выполнения программы работы Поиск решения получим
x1 |
x2 |
х3 |
|
|
4 |
2 |
1 |
|
|
A |
AX |
B |
||
1 |
-1 |
1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
1 |
11 |
11 |
1 |
1 |
2 |
8 |
8 |
Решение системы .
Задание. В файле Excel «Линейная алгебра-(Заочка)» выполнить лист «Поиск решения».
Задача 7 (прогноз выпуска продукции по запасам сырья). Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех типов. Необходимые характеристики производства указаны в таблице
Вид сырья |
Расход сырья по видам продукции, кг/изд. |
Запас сырья, кг |
||
1 |
2 |
3 |
||
1 |
6 |
4 |
5 |
2400 |
2 |
4 |
3 |
1 |
1450 |
3 |
5 |
2 |
3 |
1550 |
Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.
▼ Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через x1, x2 и x3. Тогда при условии полного расхода запасов для каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:
Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду соответственно (в условных единицах): x1,= 150; x2 = 250; x3= 100.
Решить задачу 7 в Excel всеми способами!