Определители квадратных матриц

Пусть задана квадратная матрица порядка . С каждой такой матрицей свяжем определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующей этой матрице и обозначаемой

Δ = detA = = .

Замечание. Матрица – это совокупность чисел, записанных в виде таблицы, а определитель – это число.

Определителем матрицы первого порядка А = называется элемент этой матрицы, т.е. Δ = .

Определителем матрицы второго порядка А = называется число, вычисляемое по формуле А = = .

Например, = 3·10 - 6·2 = 18; = 0·10 – (-6)·2 = 12

Для вычисления определителей более высокого порядка используются специальные методы, для которых необходимы новые понятия.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля; в противном случае она называется вырожденной.

Анализ данных в Excel. Вычисление определителей квадратных матриц можно произвести в Excel с помощью функции МОПРЕД.

При использовании МОПРЕД необходимо:

• выбрать функцию МОПРЕД;

• ввести диапазон ячеек, где содержится исходная матрица;

• нажать ОК.

Пример. Найти определитель матрицы .

Вид листа Excel для расчета определителя матрицы показан в таблице

Задание. В файле Excel «Линейная алгебра-(Заочка)» выполнить лист «МОПРЕД».

Обратная матрица

Для любого числа существует обратное число , для которого

. Для квадратной матрицы вводится аналогичное понятие – обратная матрица.

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если выполняется равенство

,

где Е – единичная матрица.

Не каждая квадратная матрица имеет обратную матрицу.

Анализ данных в Excel. Для вычисления обратной матрицы в Excel существует функция МОБР.

При использовании МОБР необходимо:

• выделить диапазон ячеек для размещения обратной матрицы;

• выбрать функцию МОБР;

• ввести диапазон ячеек, где содержится исходная матрица;

• нажать клавиши CTRL + SHIFT + ENTER.

Пример. Найти для матриц А = .

Вид листа Excel для расчета обратной матрицы показан в таблице

Задание. В файле Excel «Линейная алгебра-(Заочка)» выполнить лист «МОБР».

Система линейных уравнений

Системой линейных уравнений с неизвестными называется система вида

,

где - неизвестные; - коэффициенты при неизвестных; - свободные коэффициенты.

Решением системы называется такая совокупность чисел , при подстановке которых в систему вместо неизвестных каждое уравнение системы обращается в числовое равенство.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений.

Запишем систему уравнений в матричной форме. Обозначим:

A = , В = , Х = ,

где А – матрица системы, составленная из коэффициентов при неизвестных; В – матрица- столбец свободных коэффициентов; Х – матрица- столбец неизвестных.

Тогда система уравнений в матричной форме имеет вид

АХ = В.