Операции над матрицами
Матрицы широко используются для математического описания объектов и процессов. Excel в полной мере поддерживает операции и арифметические действия над матрицами. Это позволяет использовать Excel для решения систем линейных уравнений.
Рассмотрим основные сведения о матрицах и функциях Excel для выполнения операций над матрицами.
I. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число называется матрица С = А, каждый элемент которой равен произведении соответствующего элемента матрицы А на число
(С = А)
(
.
Например,
если А =
,
то 5А =
.
II. Сложение матриц. Суммой двух матриц А, В одинакового размера называется матрица С = А + В того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В
(С = А + В) (
.
III. Вычитание матриц
(С = А - В) (
.
Например,
если А =
,
В =
,
то А + В =
,
А - В =
.
Анализ данных в Excel. Для выполнения операций умножения матрицы на число, сложения и вычитание матриц в Excel не существует специальных функций.
Для выполнения этих операции необходимо:
• ввести исходные матрицы;
• отметить место для матрицы-результата;
• в первой клетке матрицы-результата ввести формулу операции;
• растянуть значение формулы, сначала по горизонтали, а затем по вертикали (можно наоборот).
Пример. Пусть А =
,
В =
.
Найти 2А – 3В.
Вид листа Excel для расчета матрицы 2А – 3В показан в следующей таблице.
Задание. В файле Excel «Линейная алгебра-(Заочка)» выполнить лист «Арифметические операции».
IV. Умножение матриц. Умножение двух матриц определено, когда число столбцов 1-ой матрицы равно числу строк 2-ой матрицы. В результате умножения получается матрица, число строк которой равно числу строк 1-ой матрицы, а число столбцов – числу столбцов 2-ой матрицы.
Умножение матриц производится по правилу «строка на столбец».
В общем случае АВ ВА
Пример.
1. Пусть
А =
,
В =
,
тогда
А
В
=
·
=
,
Но ВА – не определено.
2. Пусть
А =
,
В =
,
тогда
АВ =
·
=
ВА =
·
=
т.е. АВ ВА
V. Пусть А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же порядка, тогда АЕ = ЕА = А.
Пример.
Пусть А =
,
Е =
,
тогда
АЕ = · = = А.
V1. Возведение в степень. Для квадратной матрицы существует операция возведения в целую положительную степень
,
причем
,
Например,
если А =
,
то
=
·
=
.
Анализ данных в Excel. Умножение матриц можно произвести в Excel с помощью функции МУМНОЖ.
При использовании МУМНОЖ необходимо:
• выделить диапазон ячеек для размещения результата;
• выбрать функцию МУМНОЖ;
• ввести диапазон ячеек, где содержатся матрица А, В;
• нажать клавиши CTRL + SHIFT + ENTER.
Пример. Пусть А =
,
В =
.
Найти АВ, ВА -?.
Вид листа Excel для расчета матриц АВ, ВА показан в таблице
Задание. В файле Excel «Линейная алгебра-(Заочка)» выполнить лист «МУМНОЖ».
Понятие n-мерного вектора
n
- мерным
вектором
называется упорядоченный набор
действительных чисел
,
записываемых
в виде строки 
или столбца
- вектор строка,
-
вектор столбец,
Числа
называются координатами вектора
x.
Число координат вектора x
называется размерностью вектора.
Например,
-
4-ех мерный вектор строка.
Пусть
,
-
два n-мерных
вектора.
Произведением вектора на число и сумма двух векторов называются векторы
;
.
Скалярное произведение. Скалярным произведением двух n – мерных векторов называется число, равное сумме произведений соответствующих координат этих векторов, т.е.
=
Пример. Пусть a = (3; -1; 0), b = (-2; 14; 5), тогда
=
= -20.
Понятие n-мерного вектора широко используются во всех областях науки, в том числе и в экономической. Многие обозначения при использовании векторов очень компактны, при этом не теряют в наглядности и содержательности.
В экономических
задачах можно рассматривать скалярное
произведение вектора цен
на
вектор объема продукции
.
Скалярное произведение
в этом случае дает суммарную стоимость
продукции
при ценах
.
Анализ данных в Excel. Скалярное произведение векторов в Excel можно вычислить с помощью функции СУММПРОИЗВ.
Вид листа Excel для расчета данного примера показан в таблице
Задание. В файле Excel «Линейная алгебра-(Заочка)» выполнить лист «СУММПРОИЗВ».