Понятие функции, способы задания функции.

Определение: Если каждому элементу множества D поставлен в соответствие единственный элемент множества E по некоторому правилу, то говорят, что задана однозначная функция действующая из D в E. D – область определения функции. E – множество значений функции. xD – аргумент функции, yE – значение функции.

Способы задания функции:1) Описание.2) Табличный. 3) Графический.

4) Аналитический. С помощью формулы y=f(x). Область определения функции D(y) – это множество тех значений аргумента x, при которых формула, задающая функцию, имеет смысл. Определение: Графиком функции y=f(x) называется множество точек плоскости с координатами (x,f(x)), где xD(f).

Основные характеристики функции.

1. Возрастающие и убывающие функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей на (а;b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. x1x2 выполняется f(x1) f(x2).	x2
Функция y=f(x) называется убывающей на (а;b), если большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции, т.е. x1x2 выполняется f(x1)f(x2).	x2 x1

Возрастающие и убывающие функции на (а;b) называются монотонными на этом интервале.

2. Четные, нечетные и периодические функции.

Функция y=f(x) называется нечетной, если область определения функции D(y) симметрична относительно точки О(0;0) и y(-x)=-y(x). График нечетной функции имеет симметрию относительно точки О(0;0). Функция y=f(x) называется четной, если область определения D(y) симметрична относительно точки О(0;0) и y(-x)=y(x).График четной функции имеет симметрию относительно оси Оy.

Функции, не являющиеся четными или нечетными, называются функциями общего вида.

Функция y=f(x) называется периодической с наименьшим положительным периодом T, если f(x+T)=f(x).

Уравнение F(x,y)=0 задает y как неявную функцию от x.

3. Сложная и обратная функции. Пусть функция y=f(x) действует из множества D во множество E (DE), а функция x=x(t) действует из множества T во множество D (TD), тогда сложная функция y=f(x(t)) действует из T в E.

Пусть y=f(x) действует DE, обратная функция x=(y) действует из ED.

Числовые последовательности и их пределы.

Числовой последовательностью называют бесконечное упорядоченное множество чисел. Задают числовую последовательность с помощью общего члена x_n.

1) Определение (на языке ε): Число a называют пределом числовой последовательности x_n, при n стремящемся к бесконечности (n), если для любого, сколь угодно малого, положительного числа , найдется номер последовательности N, зависящий от , начиная с которого выполняется неравенство |x_n–a|<.  0  N( ):  nN, выполняется |x_n–a|<.

(a-; a+) ‒ -окрестность точки a.

2) Определение (на языке окрестности): Число a называется пределом последовательности {x_n} при n, если для любого сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер последовательности N, начиная с которого члены последовательности будут находится в - окрестности точки a.

3) , если A0 N: n>N выполняется x_n>A.

, если A<0 N: n>N выполняется x_n<A.

, если A>0 N: n>N выполняется |x_n| > A.