Базис векторного пространства

Определение. Упорядоченная совокупность линейно независимых векторов -мерного векторного пространства называется базисом этого пространства.

ТЕОРЕМА (о разложении вектора по базису) Каждый вектор линейного пространства можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов базиса.

Координаты вектора в данном базисе.

Рассмотрим в линейном пространстве размерности базис .Любой вектор линейного пространства разлагается в линейную комбинацию базиса , принадлежит линейному пространству.

Определение: Упорядоченный набор чисел , участвующий в разложении вектора по базису называется координатами этого вектора в данном базисе. – координаты вектора линейного пространства.

Операции над векторами:

1) Для того, чтобы сложить два вектора линейного пространства в координатной форме нужно сложить их соответствующие координаты.

2) Чтобы вектор в координатной форме умножить на число нужно каждую координату умножить на это число.

Система векторов называется ортогональной, если

при _;нормированной, если для всех _.Если векторы системы ортогональны и нормированы, они называются ортонормированными.

Определение: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против хода часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левоориентированной.

Координаты точки, радиус- вектор точки. Длина вектора.

Возьмем в пространстве произвольную точку М(х, у, z). Первая координата х – абсцисса ‒ это проекция т. М на ось ОХ. Вторая у – ордината – это проекция т. М на ось ОУ. Третья z – аппликата – на ось OZ.

Определение: Вектор, соединяющий начало координат т. О с произвольной точкой пространства называется радиус- вектор этой точки. координаты радиус-вектора точки совпадают с координатами самой точки ОМ= (x, y, z).

Чтобы найти координаты вектора нужно из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле . Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле .

Длина вектора вычисляется по формуле

Проекция вектора на ось.

Определение: Проекцией вектора на ось называется число, модуль которого равен проекции на эту ось отрезка, задающего вектор, причем число берется со знаком «+», если координата конца вектора больше координаты начала вектора, и со знаком «-», если координата начала больше координаты конца.

Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число равное произведению длин этих векторов (модулей) на косинус угла между векторами. .