3. Пример вычисления z –передаточной функции.

Найдем Z-передаточную функцию разомкну­той системы, состоящей из ИЭ с экстраполятором нулевого по­рядка и непрерывной части с передаточной функцией .

Передаточная функция ПНЧ имеет вид

.

Для нахождения W(z) применим формулу (23):

.

Полюсы выражения следующие: .

Тогда получим

;

Отсюда следует

Этот же результат можно получить с помощью таблицы -преоб­разования, а именно

.

Проводя разложение на простейшие дроби, найдем

Отметим некоторые свойства Z-передаточных функций. Передаточная функция есть дробно-рациональная функция z. При использовании модифицированного Z-преобразования числитель этой функции зависит от . Порядком передаточной функции назовем степень n ее знаменателя. Порядок дискретной передаточной функции равен степени знаменателя передаточной функции непрерывной части системы .

Полюсы Z-передаточных функций и связаны с полюсами передаточной функции непрерывной части и определяются соотношением

(24)

Рассмотрим задачу определения реакции дискретной системы с передаточной функцией на входной сигнал . Определив Z-преобразование входного сигнала , запишем уравнение системы в изображениях:

(25)

Таким образом, если Z-преобразование выходной величины известно, процесс на выходе может быть найден по формуле обратного Z-преобразования:

Для нахождения можно применить известную формулу

где - полюсы функций

Для вычисления обратного Z-преобразования, кроме того, может быть использовано разложение изображения в ряд Лорана [4]. Наконец, по известной Z-передаточной функции нетрудно составить соответствующее разностное уравнение импульсной системы. Пусть

Тогда уравнение (25) можно переписать в виде

Переходя к оригиналам и учитывая теорему о смещении аргумента решетчатой функции, получим

Это соотношение представляет собой разностное уравнение системы, с помощью которого можно рассчитать процесс на выходе дискретной САУ.

Лекция 5 Уравнения и передаточные функции замкнутых импульсных систем.

План лекции:

1. Уравнения и передаточные функции простейшей замкнутой импульсной системы.

2. Структурные преобразования в импульсных системах.

1. Уравнения и передаточные функции простейшей замкнутой импульсной системы.

Р ассмотрим замкнутую систему с импульсным элементом в це­пи сигнала ошибки и единичной обратной связью. Структурная схема системы приведена на рис.10.

Рис.10

Запишем уравнение замыкания для дискретных моментов вре­мени t=nT, n=0,1,...

x[n]=f[n]-y[n]. (26)

Для получения уравнения замкнутой системы воспользуемся урав­нением разомкнутой системы

. (27)

Подставив уравнение (26) в формулу (27), получим

(28)

Для получения передаточной функции замкнутой импульсной системы применим Z -преобразование к обеим частям уравнения (28). С использованием теоремы свертки получим

,

откуда

(29)

Выражение

определяет передаточную функцию замкнутой импульсной системы для управляемой переменной по входному воздействию. Из урав­нения (29) и уравнения замыкания в изображениях

X(z)=F(z)-Y(z)

получим для изображения ошибки

. (30)

Выражение

представляет собой передаточную функцию замкнутой системы по ошибке.

Пусть

Найдем передаточную функцию замкнутой импульсной системы по отношению к сигналу g(t) на выходе звена с передаточной функцией (рис.11). Выражение, связывающее переменные x(t) и g(t) в дискретные моменты времени имеет вид

где - весовая характеристика звена с передаточной функцией .

Рис.11

Применив Z-преобразование к обеим частям последнего уравнения, получим

,

где

и, с учетом формулы (30), найдем

.

Таким образом, искомая передаточная функция имеет вид

Пример. Найти передаточные функции замкнутой систе­мы и . Приведенная непрерывная часть системы та же, что и в примере предыдущей лекции.

В результате решения предыдущего примера было найдено

Тогда

;

.