Дифференциал функции.

Пусть функция определена в окрестности и имеет производную в этой точке

При этом . Тогда для достаточно малых можно записать

Причем при . В этом случае приращение функции можно записать в виде

Или

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде

где не зависит от , но вообще зависит от .

Теорема. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке.

Таким образом, сказать, что имеет производную в точке или что дифференцируема в точке - это одно и то же. Поэтому процесс нахождения производной называют дифференцированием функции.

Доказательство.

Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной следовала возможность представления ∆y в виде , где можно положить .

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда, если , можно записать

Предел левой части при существует и равен :

Это означает, что существует производная .

3. Применение дифференциалов к приближенным вычислениям

По определению . Отсюда следует, что дифференциал функции при достаточно малом может служить хорошим приближением приращения функции. В этом смысле пишут приближенное равенство

где .

Пример. Вычислить значение . Имеем , , .

Далее . Или . Окончательно

Лекция № 13.

Тема: Неопределённое интегрирование.

План:

1. Понятие неопределенного интеграла.

2. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

3. Замена переменной в неопределенном интеграле

4. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

5. Интегрирование рациональных дробей.

6. Интегрирование тригонометрических выражений.

1. Понятие неопределенного интеграла.

Определение. Функция называется первообразной функции заданной на интервале , если она дифференцируема и для любого из этого интервала .

Определение. Совокупность всех первообразных функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции и обозначается .

называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования.

2.Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

Пусть – одна из первообразных .

1. .

2. .

3. .

Таблица интегралов:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.