2. Виды уравнений прямой в пространстве.
2.1.Общие уравнения прямой
Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей:
2.2. Параметрические и канонические уравнения прямой
Пусть дана точка M0(x0,
y0, z0), прямая
l и задан направляющий вектор
(m,
n, p)
(вектор
параллелен прямой l).
Составим уравнение прямой l.
Возьмём на прямой произвольную точку
М(x,y,z)
и проведём радиус-векторы
=
(x0,y0,z0)
и
=
(x,y,z).
Вектор
=
-
=
-
лежащий на прямой l,
по условию коллинеарен вектору S,
поэтому
,
где t - параметр.
Равенство
=
-
перепишем
иначе:
-
=
или
=
+
-
векторное уравнение прямой.
Уравнение = + в проекциях: x = x0 + mt, y = y0 + nt, z = z0 + pt- параметрическими уравнениями прямой.
Если исключить параметр t
из уравнений x = x0
+ mt, y
= y0 + nt,
z = z0
+ pt, получим:
- канонические уравнения прямой.
Уравнения
умножим на
и запишем их в таком виде: 
или 
где
,,
- углы, образованные прямой с осями
координат Ox, Oy,
Oz.
Величины cos, cos, cos называются направляющими косинусами прямой и вычисляются с помощью по формулам:
2.3.Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
Пусть прямая проходит через две данные точки М1(x1,y1,z1) и М2(x2,y2,z2). В этом случае можно положить, что направляющий вектор прямой имеет координаты = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
Подставив в уравнения 
m = x2-x1,
n = y2
- y1,
p = z2
- z1, x0
= x1,
y0 = y1,
z0 = z1,
получим
-
уравнение прямой, проходящей через
две данные точки.
Замечание. 1. Три точки М1
,М2 ,М3 лежат
на одной прямой, если выполняется условие
2. От общих уравнений прямой можно перейти к каноническим уравнениям и наоборот.
3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
Пусть даны прямые l1:
и
l2: 
Определение. Углом между двумя
прямыми l1
и l2 называется
угол между их направляющими векторами
(m1,n1,p1)
и
(m2,n2,p2)
(рис. 5.)
3.1. Условие параллельности прямых.
Если прямые l1:
и
l2: 
параллельны, то
и
коллинеарны. Отсюда получаем: 
3.2. Условие перпендикулярности двух прямых.
Если прямые l1:
и
l2: 
взаимно перпендикулярны, то
и
также перпендикулярны и их скалярное
произведение равно нулю, т.е. (
)
= 0
m1m2
+ n1n2
+ p1p2
= 0
3.3. Угол между прямой и плоскостью.
Пусть
плоскость задана уравнением: Ax+By+Cz+D=0,
прямая l:
Определение:
Углом
между прямой и плоскостью называется
любой из двух смежных углов, образованных
прямой и ее проекцией на плоскость, и
вычисляется по формуле 
4. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
4.1.Условие параллельности прямой и плоскости.
Если
прямая l
параллельна
плоскости Q,
то нормальный вектор плоскости 
перпендикулярен направляющему вектору
прямой 
,
следовательно, скалярное произведение
этих векторов равно 0,
т. е. (
)
= 0,
следовательно, выполняется условие
4.2.Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
Если
прямая l
перпендикулярна
плоскости Q,
то нормальный вектор плоскости
параллелен
направляющему вектору прямой 
,
следовательно, выполняется условие
5.Условие принадлежности прямой плоскости.
Пусть плоскость Q задана уравнением: Ax+By+Cz+D=0,
прямая l:
Тогда
условие принадлежности прямой плоскости
– это одновременное выполнение двух
равенств 
Лекция № 9.
Тема: Функции и их свойства. Предел последовательности и функции.
План:
Функции и их свойства.
Числовая последовательность.
Предел функции в точке.
Предел функции на бесконечности.
Основные теоремы о пределах.
Замечательные пределы.
1.Функции и их свойства.
Определение: Пусть заданы некоторые числовые множества X, Y.
Если каждому элементу x множества X ставиться в соответствие определенный элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция y = f(x).
Переменная x называется независимой переменной или аргументом, y – зависимой или функцией
Множество X – область допустимых значений независимой переменной x, множество Y- множество значений функции.
Определение: Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости Oxy, для каждой из которых x является значением аргумента, а y соответствующим значением функции.
Способы задания функции:
Аналитический способ. При этом способе указывается формула, связывающая зависимую переменную величину с независимой переменной величиной.
Табличный способ. При этом способе выписываются в определенном порядке значения аргумента x1, x2, x3…xn и соответствующие значения функции y1, y2, y3…yn
x
x1
x2
…
xn
y
y1
y2
…
yn
Графический способ. Этот способ удобен, когда задать функцию аналитически довольно трудно. Этот способ состоит в изображении графика функции – т. е. множества точек (x, y) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента x, ординаты – соответствующие им значения функции y=f(x).
Словесный способ. Функция описывается правилом составления.
Основные свойства функции:
Четность и нечетность функции.
Определение: Функция y=f(x) называется четной, если при всех значениях x из области определения этой функции выполняется условие f(-x)=f(x).
Определение: Функция y=f(x) называется нечетной, если при всех значениях x из области определения этой функции выполняется условие f(-x)=-f(x).
Замечание: Если функция не является не четной и не нечетной, то функция является функцией общего вида.
Монотонность функции.
Определение: Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей (возрастающей) на множестве X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т. е. для x1, x2ϵX и x2>x1, следовательно, f(x2)>f(x1)
Определение: Функция y = f(x) называется монотонно убывающей (убывающей) на множестве X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т. е. для x1, x2ϵX и x2>x1, следовательно, f(x2)<f(x1)
Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.
Ограниченность функции.
Определение: Функция y = f(x) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М > 0, что |f(x)| ≤ M для любого xϵM. В противном случае, функция называется неограниченной.
Периодичность функции.
Определение: Функция y = f(x) называется периодической, если существует число Т≠0, такое, что при любых x из области определения функции выполняется условие f(x+T)=f(x). Число Т называется периодом функции.