Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплексный метод в настоящее время получил широчайшее практическое применение и стал универсальным методом линейного программирования.

Рассмотрим следующую задачу линейного программирования, заданную в каноническом виде:

, (1)

(2)

, , … , .

При решении задачи линейного программирования симплекс-методом требуется, чтобы система уравнений (2) была приведена к допустимому виду, какие-то из переменных — базисные должны быть выражены через остальные переменные, которые называются свободными, причем в выражениях для базисных переменных свободные члены должны быть неотрицательными.

Например, система

(3)

где , , является системой допустимого вида.

В этой системе переменные — базисные. Набор этих переменных (неизвестных) называется допустимым базисом переменных.

Переменные — свободные.

Пусть целевая функция (4), а система уравнений приведена к допустимому виду (3). Заменив в выражении (4) каждую базисную переменную ее выражением через свободные переменные, целевую функцию можно записать в виде:

(5)

Каждому шагу процесса решения задачи симплекс-методом соответствует своя таблица, таким образом, решение задачи линейного программирования можно представить в виде некоторой последовательности таблиц. Напомним, что рассматривается задача следующего вида:

, (1)

при условиях:

(2)

Или в допустимом виде:

, (3)

при условиях:

(4)

Составим первую симплекс-таблицу.

Таблица 4

Базисные переменные	Свободные переменные
	α	1	0	0	-α4	-α5
	β	0	1	0	-β4	-β5
	γ	0	0	1	-γ4	-γ5
Z	δ	0	0	0	- δ4	-δ5

1. Выясним, имеются ли отрицательные коэффициенты в выражении (1) при переменных и или положительные в выражении (3) , то есть являются ли эти коэффициенты положительными в таблице. Если положительных коэффициентов в таблице 4 нет, то имеем первый случай, и базисное решение, отвечающее данному базису, является оптимальным.

2. Пусть в последней строке имеется положительное число, например, - . Отметим столбец, в котором оно находится, вертикальной стрелкой. Если все числа в этом столбце отрицательные, то имеем второй случай, и задача решения не имеет.

3. Пусть в столбце, отмеченном стрелкой, имеются положительные числа, то имеем третьей случай, и надо сделать шаг. Пусть, например, и , находим и , а затем выбираем из них наименьшее. Пусть это будет . Отмечаем горизонтальную строку, в которой находится число , горизонтальной стрелкой.

Элемент таблицы, стоящий на пересечении отмеченных столбца и строки, называется разрешающим.

4. Перестраиваем таблицу. Для этого умножаем выделенную строку на такое число, что бы на месте разрешающего элемента появилась 1, то есть на . Полученные результаты записываем в новой таблице в той же строке. Затем к каждой из оставшихся строк таблицы 4, включая последнюю строку, прибавляем вновь полученную строку, умноженную на такие числа, чтобы в клетках отмеченного столбца появились нули. Полученные результаты записывают в новую таблицу.

5. К новой таблице применяется тот же метод. Ее анализируют на первый случай, второй случай и третий случай. В третьем случае строится еще одна таблица. Процесс продолжается до тех пор, пока не придем к первому или второму случаю.

Пример 1. Определить минимальное значение функции при условиях

Решение

Запишем задачу в каноническом виде:

при условиях:

Расширенная матрица системы:

= ~ ,

Таким образом, , и в системе три базисных переменных - и две свободных - .

Приведем систему к допустимому виду, выразив базисные переменные через свободные:

(5)

Целевая функция изначально оказалась записанной только через свободные переменные: (поэтому выражения (5) нам не пригодились).

Система уравнений

записана в том виде, в каком будем ее использовать при составлении таблицы. Из выражения для целевой функции получим следующее равенство (эти коэффициенты при переменных вносятся в нижнюю строку таблицы).

Заполним таблицу 1.

Таблица 1

Базисные переменные	Свободные члены						Отно- шение
	2	-2	1	1	0	0	-
	2		-2	0	1	0
	5	1	1	0	0	1
Z	0	1	-1	0	0	0

В последней строке есть положительный коэффициент – это коэффициент в столбце . Выделим этот столбец стрелочкой, этот столбец называется разрешающим столбцом. (Если положительных коэффициентов в последней строке несколько, выбирают столбец с наибольшим коэффициентом). В разрешающем столбце имеются положительные числа (в строках 2 и 3 этого столбца). Находим отношение свободных членов к элементам разрешающего столбца и . Так как 2 < 5 , то выделяем горизонтальной стрелкой строку при базисной переменной . Разрешающим элементом является 1 (находится в кружочке).

Заполним таблицу 2. В базисных переменных заменится на . Для этого умножаем выделенную строку на и записываем результат вместо этой строки.

Таблица 2

Базисные переменные	Свободные переменные						Отно- шение
	6	0	-3	1	2	0	-
	2	1	-2	0	1	0
	3	0	3	0	-1	1
Z	-2	0	1	0	-1	0

Умножаем вторую строку таблицы 2 и складываем с соответствующими значениями первой строки таблицы 1. Результат записываем в первую строку таблице 2. В столбце при переменной появился ноль. Далее умножаем вторую строку таблицы 2 на -1 и складываем с соответствующими значениями третьей строки таблицы 1 и результат записываем в третьей строке таблицы 2. В столбце при переменной снова появляется ноль.

Умножаем вторую строку таблицы 2 на -1 и складываем с соответствующими значениями четвертой строки таблицы 1 и результат записываем в четвертой строке таблицы 2. В столбце при переменной снова появился ноль.

В последней строке есть положительное число – коэффициент в столбце при переменной . Отметим этот столбец вертикальной стрелкой. Положительным является также число в третьей строке, выделяем эту строку горизонтальной стрелкой. Разрешающим элементом является 3.

Заполняем таблицу 3.

Умножаем выделенную строку на и записываем результат вместо этой строки.

Таблица 3

Базисные переменные	Свободные переменные
	9	0	0	1	1	1
	4	1	0	0	1/3	2/3
	1	0	1	0	-1/3	1/3
Z	-3	0	0	0	-2/3	-1/3

Третью строку таблицы умножаем на 3 и складываем с первой строкой, умножаем на 2 и складываем со второй строкой, умножаем на -1 и складываем с четвертой строкой таблицы 2.

В таблице 3 последняя строка не имеет положительных чисел в последних пяти столбцах. Значит, достигнуто оптимальное решение.

Базисные переменные , , . Следовательно, базисным решением являются соответствующие свободные члены в первой, второй и третьей строках. Базисное решение для свободных переменных , равно нулю. Таким образом, оптимальное решение имеет вид =4, =1, =9, =0, =0.

Минимальным значением целевой функции является свободный член в последней строке

Пример 2. Найти максимальное значение функции: Метод искусственного базиса

при условиях:

Решение.

Сведем задачу на максимум к задаче на минимум. Для этого целевую функцию умножим на (-1):

.

Для решения задачи симплекс-методом приведем систему уравнений к допустимому виду.

Запишем расширенную матрицу системы уравнений и приведем ее к трапециевидному виду:

.

Следовательно, система уравнений совместна и неопределенная.

По матрице трапециевидного вида восстановим систему:

Переменные , , - базисные, , - свободные. Выражаем базисные переменные через свободные:

Получим систему уравнений допустимого вида.

Выразим целевую функцию через свободные переменные:

Таким образом, задачу можно сформулировать следующим образом:

Для составления первой симплекс - таблицы запишем задачу в виде:

при условиях:

Заполним первую симплекс-таблицу.

Таблица 1

Базисные переменные	Свободные члены						Отно- шение
	1	-2	- 1	1	0	0	-
	2	-3		0	1	0
	1	5	-1	0	0	1	-
Z1	-12	-18	5	0	0	0

В последней строке есть положительный коэффициент в столбце переменной . Положительным является также число в строке базисной переменной . Разрешающим элементом является 2.

Строим вторую таблицу. Для этого умножаем выделенную стрелкой строку на дробь и записываем результат вместо этой строки в новую таблицу (таблица 2).

Умножаем вторую строку новой таблицы на 1 и складываем с первой, умножаем на 1 и складываем с третьей, умножаем на -5 и складываем с четвертой строкой старой таблицы.

Таблица 2

Базисные переменные	Свободные члены
	2	-7/2	0	1	½	0
	1	-3/2	1	0	½	0
	2	7/2	0	0	½	1
Z1	-17	-21/2	0	0	-5/2	0

В новой таблице последняя строка не имеет положительных чисел в последних пяти столбцах. Значит, достигнуто оптимальное решение. Базисным решением для переменных , , являются соответствующие свободные члены. Базисное решение для свободных переменных , равно нулю. Таким образом, оптимальное решение имеет вид:

=0, =1, =2, =0, =2,

, .